※ 引述《fong1014 ()》之銘言： : ※ 引述《Hseuler (藍色貍貓)》之銘言： : : 費爾茲獎得主小平邦彥在他的初等微積分著作 : : 不是用畫圖的方法證明 : : 原因是他用嚴格的旋轉概念定義三角函數 : : 我把整段抄下來 : : 先引進一個引理 : : 假設數列{An}, : : An>0是收斂於0的單調遞減數列，則交錯級數 : : A1-A2+A3-A4+A5.......... : : 收斂.如果其和設為S,部分和設為 : : S(n)=A1-A2+A3-A4+.....+(-1)^(n+1)An : : 則S(2n-1)>S>S(2n) : : 有了這個引理後 : : sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... : : 當 : : 0<|h|<1時 : : 此式右邊的交錯級數的各項絕對值構成的數列 : : {h^2n/(2n+1)!}單調遞減且收斂於0 : : 由引理得到 : : 1-h^2/6 < sinh/h < 1 ,0<|h|<1 : : 故 lim sinh/h=1 : : h->0 : : Q.E.D. : 這是很好、很精闢的一種想法。 : 我想問一個很現實的問題：這在考試當中有多少人(老師)會承認這樣的証法是OK的？ : 我想到以前修高微，我這樣証大概根本就在找死..... : 在考試的時候老師根本不知道你會不會証那個引理， : 然後，sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... 請問這是背馬克勞林來的嗎？ : 如果是的話，嗯....前面有位大大說過，微分都還沒証，那.... 循環證明？ : 絕對收斂那邊還可以寫個證明出來...... : 用那麼多雖然正確但需要證明的式子在考試上....妥當嗎？是不是有點本末倒置。 : 畫個圖，簡單易懂才是比較恰當吧。 : (迷之語：其實我覺得要用展開式算出答案，不只一種方法，函數具有組合性質， : 看你拿什麼當定義，什麼當引理而已。) 閱卷的主觀性，的確是個有點麻煩的問題。 我自己在看到這個證法的時候，會覺得很有趣。 也許在台灣的考試中，這是不被鼓勵的； 但是對學習與研究而言，創意與靈感比熟悉書本上的做法，還更重要。 科學能夠進展，就是建立在我們能直接應用前人已經完成的基礎。 應用與證明，是同等重要。 說實在的，如果是我，會認為他已經知道泰勒展開了。 因為這是很重要的式子，也常使用。 這就好像說，你在普物裡面計算轉動慣量到底能不能直接用平行軸定理? 或者直接使用Lagrange方程來計算普物的力學問題? 如果是我，既然他知道引用，那就假設他會， 或者，我其實不關心他到底會不會證這些被引用的東西，因為那不是我要考察的重點。 說到底，還是個主觀的判定問題， 不過遵循保守路線，對考試還是比較低風險的做法。 p.s.如果是在校考試,我可能會照寫,然後再和閱卷者argue --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.204.0.185