※ 引述《fong1014 ()》之铭言： : ※ 引述《Hseuler (蓝色狸猫)》之铭言： : : 费尔兹奖得主小平邦彦在他的初等微积分着作 : : 不是用画图的方法证明 : : 原因是他用严格的旋转概念定义三角函数 : : 我把整段抄下来 : : 先引进一个引理 : : 假设数列{An}, : : An>0是收敛於0的单调递减数列，则交错级数 : : A1-A2+A3-A4+A5.......... : : 收敛.如果其和设为S,部分和设为 : : S(n)=A1-A2+A3-A4+.....+(-1)^(n+1)An : : 则S(2n-1)>S>S(2n) : : 有了这个引理後 : : sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... : : 当 : : 0<|h|<1时 : : 此式右边的交错级数的各项绝对值构成的数列 : : {h^2n/(2n+1)!}单调递减且收敛於0 : : 由引理得到 : : 1-h^2/6 < sinh/h < 1 ,0<|h|<1 : : 故 lim sinh/h=1 : : h->0 : : Q.E.D. : 这是很好、很精辟的一种想法。 : 我想问一个很现实的问题：这在考试当中有多少人(老师)会承认这样的证法是OK的？ : 我想到以前修高微，我这样证大概根本就在找死..... : 在考试的时候老师根本不知道你会不会证那个引理， : 然後，sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... 请问这是背马克劳林来的吗？ : 如果是的话，嗯....前面有位大大说过，微分都还没证，那.... 循环证明？ : 绝对收敛那边还可以写个证明出来...... : 用那麽多虽然正确但需要证明的式子在考试上....妥当吗？是不是有点本末倒置。 : 画个图，简单易懂才是比较恰当吧。 : (迷之语：其实我觉得要用展开式算出答案，不只一种方法，函数具有组合性质， : 看你拿什麽当定义，什麽当引理而已。) 阅卷的主观性，的确是个有点麻烦的问题。 我自己在看到这个证法的时候，会觉得很有趣。 也许在台湾的考试中，这是不被鼓励的； 但是对学习与研究而言，创意与灵感比熟悉书本上的做法，还更重要。 科学能够进展，就是建立在我们能直接应用前人已经完成的基础。 应用与证明，是同等重要。 说实在的，如果是我，会认为他已经知道泰勒展开了。 因为这是很重要的式子，也常使用。 这就好像说，你在普物里面计算转动惯量到底能不能直接用平行轴定理? 或者直接使用Lagrange方程来计算普物的力学问题? 如果是我，既然他知道引用，那就假设他会， 或者，我其实不关心他到底会不会证这些被引用的东西，因为那不是我要考察的重点。 说到底，还是个主观的判定问题， 不过遵循保守路线，对考试还是比较低风险的做法。 p.s.如果是在校考试,我可能会照写,然後再和阅卷者argue --

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