※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言： : . : . : . : x : x : f(x)= x 求f'(x)=? : 謝謝! [以下為個人見解 有錯請指教] 我是把這個函數f(x) 看成這個數列 x, x^x, x^(x^x), x^(x^(x^x)), x^(x^(x^(x^x))), ... 在項數趨近無限的極限 那麼首先先看它的定義域及顯表達式: 顯然x必須為正 然後使得這個數列收斂的x 必滿足 x^f(x) = f(x) 取ln 整理後得 ln f(x) ln x = ------- f(x) ln f(x) 1/f(x) x = exp (-------) = f(x) f(x) 由此可知 f(x)為 g(x) = x^(1/x) 的一個反函數 但是對g(x)的分析發現 g(x)在x=e的地方有個最高點(也僅有這一個極值) 因此我們必須只取(0,e]或[e,∞)做反函數 至於是哪一個呢? 顯而易見的 f(1) = 1 因此我們必須取(0,e]的部份做反函數 故我們得到了f(x)的表達式: -1 f(x) = G (x), 其中G(x) = g(x) = x^(1/x), 只是定義域為(0,e] 也就是說 f(x)的定義域是(0,e^(1/e)] 於是接下來就來做它的微分: -1 1 f'(x) = D G (x) = ---------- (by chain rule) -1 G'(G (x)) = ....(做不下去了) 然後請出Mathematica來做的結果 得到了一個怪怪函數ProductLog....@@| 看來初等函數似乎是不能表達這題的答案了嗎@@？ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.128.93 ※ 編輯: Qmmm 來自: 140.112.128.93 (11/01 21:03)