※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之铭言： : . : . : . : x : x : f(x)= x 求f'(x)=? : 谢谢! [以下为个人见解 有错请指教] 我是把这个函数f(x) 看成这个数列 x, x^x, x^(x^x), x^(x^(x^x)), x^(x^(x^(x^x))), ... 在项数趋近无限的极限 那麽首先先看它的定义域及显表达式: 显然x必须为正 然後使得这个数列收敛的x 必满足 x^f(x) = f(x) 取ln 整理後得 ln f(x) ln x = ------- f(x) ln f(x) 1/f(x) x = exp (-------) = f(x) f(x) 由此可知 f(x)为 g(x) = x^(1/x) 的一个反函数 但是对g(x)的分析发现 g(x)在x=e的地方有个最高点(也仅有这一个极值) 因此我们必须只取(0,e]或[e,∞)做反函数 至於是哪一个呢? 显而易见的 f(1) = 1 因此我们必须取(0,e]的部份做反函数 故我们得到了f(x)的表达式: -1 f(x) = G (x), 其中G(x) = g(x) = x^(1/x), 只是定义域为(0,e] 也就是说 f(x)的定义域是(0,e^(1/e)] 於是接下来就来做它的微分: -1 1 f'(x) = D G (x) = ---------- (by chain rule) -1 G'(G (x)) = ....(做不下去了) 然後请出Mathematica来做的结果 得到了一个怪怪函数ProductLog....@@| 看来初等函数似乎是不能表达这题的答案了吗@@？ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.128.93 ※ 编辑: Qmmm 来自: 140.112.128.93 (11/01 21:03)