作者zptdaniel ()
看板trans_math
標題Re: [連續]
時間Tue Oct 14 22:21:58 2008
Because f(c)=1/2 and f(x)= sinx/x
so that we can rewrite f(c)=1/2 as following equation:
2sinC = C
Now we can define a new function g:(0,pi] --> R:
g(x)=2sinx - x
We can say g(x) is continue on (0,pi]
g(pi/2)= 2 sin(pi/2) - pi/2 = 2 - pi/2 > 0
g(pi)=2sin(pi) - pi = 2*0 -pi = -pi<0
so g(pi/2)g(pi) <0---[*]
from [*] and I.V.T.
There exists a value cε(0,pi] such that g(c)= 0
and we know g(c)= 2sinC-C = 0
that is, sinC/C = 1/2
※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: 題目:
: sinx 1
: 設f(x)= ---- , x ε (0,π] 試證存在一數c ε(0,π)使得f(c)= ---
: x 2
: =============================================================================
: 我想問這題中間值定理不是要在閉區間連續嗎?
: 可是這題在(0,π] 連續
: 所以有沒有違反定理??怎麼說呢?
: 如果沒有可不可以用我的解法
: 令F(x) = sinx/x - 1/2
: 則 F(0) = lim x->0 sinx/x - 1/2 = 1/2 >0
: {
: F(π)= sinπ/π - 1/2 = -1/2 <0
: 由中間值定理知
: F(0)F(π)<0
: 存在一數c ε(0,π)
: 使得 F(c)=0 => sinc/c - 1/2 即 f(c) = 1/2
: 因為王氏微積分說不能這樣解...
: 謝謝!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.194.97.168
1F：推 Qmmm:謝謝！ 請問我的解法可不可以呢？ 119.14.157.130 10/14 22:23
2F：→ zptdaniel:我認為是不行,畢竟sinx/x在0這點無定義 123.194.97.168 10/14 22:24
3F：→ zptdaniel:但你寫的是F(0)=limF(x) as x->0 123.194.97.168 10/14 22:25
4F：→ zptdaniel:只有連續函數才可以這樣寫 123.194.97.168 10/14 22:25
5F：推 TaiwanFlight:那可以改個寫法,210.240.176.170 10/14 22:26
6F：→ Qmmm:嗯嗯 我也想說是連續 所以極限存在~ 119.14.157.130 10/14 22:26
7F：→ TaiwanFlight:F(x) = sinx/x - 1/2 and210.240.176.170 10/14 22:26
8F：→ TaiwanFlight:F(x) = lim[sinx/x - 1/2],when x=0210.240.176.170 10/14 22:27
9F：→ Qmmm:所以題目根本不用在特別定義f(x)在x=0這個點 119.14.157.130 10/14 22:27
10F：→ TaiwanFlight: x->0210.240.176.170 10/14 22:27
11F：→ zptdaniel:TaiwanFlight兄,您要不要另開一篇文 123.194.97.168 10/14 22:27
12F：→ TaiwanFlight:這樣F在0點就連續了210.240.176.170 10/14 22:27
13F：→ zptdaniel:我們可以在那篇文討論? 123.194.97.168 10/14 22:27
14F：→ zptdaniel:而且,既然今天題目已經限制domain了 123.194.97.168 10/14 22:29
15F：→ zptdaniel:我們是不能把domain擴張的吧 123.194.97.168 10/14 22:30
16F：→ zptdaniel:除了利用函數進行合理的擴大domain的範 123.194.97.168 10/14 22:31
17F：→ TaiwanFlight:因為本題的c不會發生在端點,210.240.176.170 10/14 22:31
18F：→ zptdaniel:圍? 123.194.97.168 10/14 22:31
19F：→ TaiwanFlight:所以是沒關西的210.240.176.170 10/14 22:31
20F：→ Qmmm:你們兩個都說的很有道理耶 :PP 119.14.157.130 10/14 22:33