作者Eliphalet (長洲賓客人數多)
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標題Re: [積分] 請教2題關於瑕積分與不定型的問題
時間Thu Oct 2 17:55:29 2008
※ 引述《ILzi ( 並不好笑)》之銘言：
: 不定型：
: 試求a值使 a -2x x 2t 2 (1/2) 存在(定值)且不等於零
: lim x e ∫ e (t +1) dt
: x→∞ 0
: 並求此極限值
x 2t 2 (1/2)
令 F(x) = ∫ e (t +1) dt , x > 0 ; G(x) = x^(-a) * e^(2x) , x > 0
0
x 2t 2 (1/2) x x 1 1
因 ∫ e (t +1) dt > ∫ t * e^(2t) dt = e^(2x) * ( --- - --- ) - ---
0 0 2 4 4
所以 , a 一定要 ≦ -1 ;
x 2t 2 (1/2) x (x+1)
∫ e (t +1) dt < ∫ e^(2t) * (x+1) dx = ----- * ( e^(2x) - 1 )
0 0 2
所以 , 如果 a < -1 , 則這個極限會跑到 0
=> a = -1
------------------------------------------------------------------------------
F(x)
原本的極限等同於求 lim ---------
x→∞ G(x)
F(x) →∞ , G(x) →∞ , 當 x→∞ . 且 F , G 是 differentiable functions
F'(x) = e^(2x) * sqrt(x^2 + 1) , G'(x) = e^(2x) * ( 2 * x + 1 )
F'(x) sqrt(x^2+1)
=> -------- = ---------------------------
G'(x) 2 * x + 1
F(x) F'(x) 1
由 L'Hospital's Rule , lim --------- = lim ------- = ---
x→∞ G(x) x→∞ G'(x) 2
1
=> a = -1 , 極限值 ---
2
不知道對不對 , 有錯請指教
: 瑕積分：
: ∞
: 若 ∫ f(x) dx 收斂, 則當x→∞時, f(x)→0
: 0
: 試問此命題是否成立
應該是不會成立
令 f(x) = 1 , x 屬於 N ; f(x) = 0 , x 屬於 R\N
∞
則 ∫ f(x) dx = 0 , 但 lim f(x) 並不存在
0 x→∞
--
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