作者Eliphalet (长洲宾客人数多)
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标题Re: [积分] 请教2题关於瑕积分与不定型的问题
时间Thu Oct 2 17:55:29 2008
※ 引述《ILzi ( 并不好笑)》之铭言：
: 不定型：
: 试求a值使 a -2x x 2t 2 (1/2) 存在(定值)且不等於零
: lim x e ∫ e (t +1) dt
: x→∞ 0
: 并求此极限值
x 2t 2 (1/2)
令 F(x) = ∫ e (t +1) dt , x > 0 ; G(x) = x^(-a) * e^(2x) , x > 0
0
x 2t 2 (1/2) x x 1 1
因 ∫ e (t +1) dt > ∫ t * e^(2t) dt = e^(2x) * ( --- - --- ) - ---
0 0 2 4 4
所以 , a 一定要 ≦ -1 ;
x 2t 2 (1/2) x (x+1)
∫ e (t +1) dt < ∫ e^(2t) * (x+1) dx = ----- * ( e^(2x) - 1 )
0 0 2
所以 , 如果 a < -1 , 则这个极限会跑到 0
=> a = -1
------------------------------------------------------------------------------
F(x)
原本的极限等同於求 lim ---------
x→∞ G(x)
F(x) →∞ , G(x) →∞ , 当 x→∞ . 且 F , G 是 differentiable functions
F'(x) = e^(2x) * sqrt(x^2 + 1) , G'(x) = e^(2x) * ( 2 * x + 1 )
F'(x) sqrt(x^2+1)
=> -------- = ---------------------------
G'(x) 2 * x + 1
F(x) F'(x) 1
由 L'Hospital's Rule , lim --------- = lim ------- = ---
x→∞ G(x) x→∞ G'(x) 2
1
=> a = -1 , 极限值 ---
2
不知道对不对 , 有错请指教
: 瑕积分：
: ∞
: 若 ∫ f(x) dx 收敛, 则当x→∞时, f(x)→0
: 0
: 试问此命题是否成立
应该是不会成立
令 f(x) = 1 , x 属於 N ; f(x) = 0 , x 属於 R\N
∞
则 ∫ f(x) dx = 0 , 但 lim f(x) 并不存在
0 x→∞
--
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