作者Eliphalet (冇提就等於唔存在啦)
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標題Re: [單變] 證反函數存在
時間Fri Jul 18 18:49:28 2008
※ 引述《woeichern (小暐 )》之銘言：
: 已知 f(x)= x^3 + x + 1 , 試證f(x)具有反含數 .
: 懇請高手不吝指教！
: 感謝！
→ woeichern:如果用非微積分方式該如何證明呢？ 140.119.107.47 07/18 13:25
→ bulletproof:原po你是說不用微導去證明嗎? 218.169.66.246 07/18 13:26
→ zptdaniel:就想辦法把反函數求出來 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:不過應該是求的你死去回來 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:因為反函數存在不代表一定可以用我們 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:所熟悉的式子寫出來 123.194.96.150 07/18 13:28
不用微積分一樣可以做這個問題 , 也不需要求出反函數
(i)
f 是 one-to-one
f(x) = f(y) => x^3 + x + 1 = y^3 + y + 1 => (x^3 - y^3) + (x-y) = 0
=> (x-y) * (x^2 + xy + y^2 + 1) = 0
因為 x^2 + y^2 ≧ |xy| , 所以 x^2 + xy + y^2 + 1 > 0
=> x = y
所以 f 是一個 injection
(ii)
f 是 onto
y 屬於 R , 考慮 x^3 + x + (1-y) = 0
=> 必存在一實數根 x0
=> f(x0) = y
所以 f 是一個 surjection
因此 , f 是一個 bijection , 故 f 的反函數存在
有錯請指教!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.100.33
1F：推 Honor1984:x^2 + y^2 ≧ |xy|有等號??122.124.101.177 07/18 22:25
2F：→ Honor1984:從定義推導的證明 還蠻有趣的122.124.101.177 07/18 22:32
3F：→ Honor1984:5>=3也可以 當我沒說122.124.101.177 07/18 22:33
4F：推 bulletproof:樓上XD 原來可以這樣證 受益良多 59.125.176.104 07/18 22:36
5F：→ bulletproof:但是第二點必存在一實根是如何看出來 59.125.176.104 07/18 22:37
6F：推 Honor1984:實數範圍 三次方程式至少有一實根阿122.124.101.177 07/18 22:43
7F：→ Honor1984:實係數122.124.101.177 07/18 22:44
8F：推 bulletproof:不好意思 我忘了這怎麼來的 可否提點 218.169.66.246 07/18 23:48
9F：→ bulletproof:三次方程必有實根 用堪根定理嗎? 218.169.66.246 07/18 23:48
10F：推 Honor1984:也可以 你看x->00和x->-00 三次方的函數122.124.101.177 07/18 23:54
11F：→ Honor1984:數分別是+00 -00 所以根據堪根定理 必有122.124.101.177 07/18 23:54
12F：→ Honor1984:一實根 另外高中數學講到實係數方程虛根122.124.101.177 07/18 23:55
13F：→ Honor1984:成對 你可以試著寫成積的形式來理解122.124.101.177 07/18 23:55
14F：→ Honor1984:這中間有代數基本定理的應用122.124.101.177 07/18 23:57
15F：推 zptdaniel:高中數學都忘光了..樓上是高手啊!! 123.194.96.150 07/19 01:10
16F：推 bulletproof:了解 想再請問積的形式是因式分解? 218.169.66.246 07/19 01:44
17F：→ Honor1984:嗯 122.124.96.147 07/19 02:08
18F：→ bulletproof:懂了 謝謝 218.169.66.246 07/19 02:16
19F：→ Honor1984:不會 122.124.96.147 07/19 02:45