作者Eliphalet (冇提就等於唔存在啦)
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标题Re: [单变] 证反函数存在
时间Fri Jul 18 18:49:28 2008
※ 引述《woeichern (小暐 )》之铭言：
: 已知 f(x)= x^3 + x + 1 , 试证f(x)具有反含数 .
: 恳请高手不吝指教！
: 感谢！
→ woeichern:如果用非微积分方式该如何证明呢？ 140.119.107.47 07/18 13:25
→ bulletproof:原po你是说不用微导去证明吗? 218.169.66.246 07/18 13:26
→ zptdaniel:就想办法把反函数求出来 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:不过应该是求的你死去回来 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:因为反函数存在不代表一定可以用我们 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:所熟悉的式子写出来 123.194.96.150 07/18 13:28
不用微积分一样可以做这个问题 , 也不需要求出反函数
(i)
f 是 one-to-one
f(x) = f(y) => x^3 + x + 1 = y^3 + y + 1 => (x^3 - y^3) + (x-y) = 0
=> (x-y) * (x^2 + xy + y^2 + 1) = 0
因为 x^2 + y^2 ≧ |xy| , 所以 x^2 + xy + y^2 + 1 > 0
=> x = y
所以 f 是一个 injection
(ii)
f 是 onto
y 属於 R , 考虑 x^3 + x + (1-y) = 0
=> 必存在一实数根 x0
=> f(x0) = y
所以 f 是一个 surjection
因此 , f 是一个 bijection , 故 f 的反函数存在
有错请指教!
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.100.33
1F：推 Honor1984:x^2 + y^2 ≧ |xy|有等号??122.124.101.177 07/18 22:25
2F：→ Honor1984:从定义推导的证明 还蛮有趣的122.124.101.177 07/18 22:32
3F：→ Honor1984:5>=3也可以 当我没说122.124.101.177 07/18 22:33
4F：推 bulletproof:楼上XD 原来可以这样证 受益良多 59.125.176.104 07/18 22:36
5F：→ bulletproof:但是第二点必存在一实根是如何看出来 59.125.176.104 07/18 22:37
6F：推 Honor1984:实数范围 三次方程式至少有一实根阿122.124.101.177 07/18 22:43
7F：→ Honor1984:实系数122.124.101.177 07/18 22:44
8F：推 bulletproof:不好意思 我忘了这怎麽来的 可否提点 218.169.66.246 07/18 23:48
9F：→ bulletproof:三次方程必有实根 用堪根定理吗? 218.169.66.246 07/18 23:48
10F：推 Honor1984:也可以 你看x->00和x->-00 三次方的函数122.124.101.177 07/18 23:54
11F：→ Honor1984:数分别是+00 -00 所以根据堪根定理 必有122.124.101.177 07/18 23:54
12F：→ Honor1984:一实根 另外高中数学讲到实系数方程虚根122.124.101.177 07/18 23:55
13F：→ Honor1984:成对 你可以试着写成积的形式来理解122.124.101.177 07/18 23:55
14F：→ Honor1984:这中间有代数基本定理的应用122.124.101.177 07/18 23:57
15F：推 zptdaniel:高中数学都忘光了..楼上是高手啊!! 123.194.96.150 07/19 01:10
16F：推 bulletproof:了解 想再请问积的形式是因式分解? 218.169.66.246 07/19 01:44
17F：→ Honor1984:嗯 122.124.96.147 07/19 02:08
18F：→ bulletproof:懂了 谢谢 218.169.66.246 07/19 02:16
19F：→ Honor1984:不会 122.124.96.147 07/19 02:45