※ 引述《goshfju (Cola)》之銘言： : ※ 引述《dodo1654 (secret)》之銘言： : : 我想問一下上述C值答案對嗎? : : 還有要怎麼求 C 呢? : 你可以把它微分後得到0 所以就是常數囉 : 至於常數值~就代點進去就好囉~ : 我想這三個點代進去都是 -π/4 吧~沒有那麼多答案喔 : 或令α=arctan[(x+1)/(x-1)] , β=arctan(x-1) ^^^^^ why? : 利用tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)常數值就出來囉~ ^^^^ -才對 如果要用這個方法 必須非常謹慎 tanα+tanβ tan(α+β) = ------------ = tan C -----------(1) 1-tanαtanβ 還必須考量到arctan的值域當初只包含-π/2到π/2而已 所以就算得到 -1 = tanC 也不能毫不考慮就直接答C = -π/4(這只是一個答案) 剛好藉這個機會當作一個教學範例 現在的問題又變成 我們怎麼知道不會有無窮多個解? 但是我們可以從 -π <= arctan(x) + arctan(y) <= π 所以C有兩個 一個是-π/4 另一個是3π/4 但只有這樣是不夠的 如果原po有完整照抄題目的話 那就是出題者沒有出好題目 -1 x+1 -1 tan (-----) + tan x = C (constant) x-1 如果沒有限制x的範圍 是不可能存在像等式左邊這樣形式的常數函數 所以要是我改考卷的 寫C不存我算他滿分 寫-π/4及3π/4沒交代範圍的頂多給半對而已 現在來講一下個別的區間 x + 1 x^2 + 1 -------- + x --------- x - 1 x - 1 ------------- = -------------- = -1 (x=/=1) x + 1 - 1 -x^2 1 - --------x -------- x - 1 x - 1 看不出來x屬於哪個區間的(不可用分子分母孰正孰負來判斷第幾象限) 這也是用三角函數合角展開產生的問題 因為你用合角展開得到的只是tanC的數值而已 這是arctan本身定義的侷限 正確來說 -1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x > 1 tan (-----) + tan x = x-1 2. -π/4 , for x < 1 -1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x -> 1+ lim[tan (-----) + tan x] = x-1 2. -π/4 , for x -> 1- --

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