※ 引述《goshfju (Cola)》之铭言： : ※ 引述《dodo1654 (secret)》之铭言： : : 我想问一下上述C值答案对吗? : : 还有要怎麽求 C 呢? : 你可以把它微分後得到0 所以就是常数罗 : 至於常数值~就代点进去就好罗~ : 我想这三个点代进去都是 -π/4 吧~没有那麽多答案喔 : 或令α=arctan[(x+1)/(x-1)] , β=arctan(x-1) ^^^^^ why? : 利用tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)常数值就出来罗~ ^^^^ -才对 如果要用这个方法 必须非常谨慎 tanα+tanβ tan(α+β) = ------------ = tan C -----------(1) 1-tanαtanβ 还必须考量到arctan的值域当初只包含-π/2到π/2而已 所以就算得到 -1 = tanC 也不能毫不考虑就直接答C = -π/4(这只是一个答案) 刚好藉这个机会当作一个教学范例 现在的问题又变成 我们怎麽知道不会有无穷多个解? 但是我们可以从 -π <= arctan(x) + arctan(y) <= π 所以C有两个 一个是-π/4 另一个是3π/4 但只有这样是不够的 如果原po有完整照抄题目的话 那就是出题者没有出好题目 -1 x+1 -1 tan (-----) + tan x = C (constant) x-1 如果没有限制x的范围 是不可能存在像等式左边这样形式的常数函数 所以要是我改考卷的 写C不存我算他满分 写-π/4及3π/4没交代范围的顶多给半对而已 现在来讲一下个别的区间 x + 1 x^2 + 1 -------- + x --------- x - 1 x - 1 ------------- = -------------- = -1 (x=/=1) x + 1 - 1 -x^2 1 - --------x -------- x - 1 x - 1 看不出来x属於哪个区间的(不可用分子分母孰正孰负来判断第几象限) 这也是用三角函数合角展开产生的问题 因为你用合角展开得到的只是tanC的数值而已 这是arctan本身定义的局限 正确来说 -1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x > 1 tan (-----) + tan x = x-1 2. -π/4 , for x < 1 -1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x -> 1+ lim[tan (-----) + tan x] = x-1 2. -π/4 , for x -> 1- --

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