※ 引述《dodo1654 (secret)》之銘言： : ※ 引述《axis0801 (Xavier)》之銘言： : : -1 x+1 -1 : : 1. 證 tan (-----) + tan x = C (constant) 並求 C 值 : : x-1 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此部份令為 f(x) => f'(x)=0 得證 : : 　 將 x=1(x>0), x=0, x=-1(x<0)個別代入 f(x)可求出 C值 Ans:0, 3π/4, -π/4 : 我想問一下上述C值答案對嗎? : 還有要怎麼求 C 呢? 你可以把它微分後得到0 所以就是常數囉 至於常數值~就代點進去就好囉~ 我想這三個點代進去都是 -π/4 吧~沒有那麼多答案喔 或令α=arctan[(x+1)/(x-1)] , β=arctan(x) 利用tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)常數值就出來囉~ : : n n : : ∞ (-1)(x-4) : : 2. Σ ----------- 問的是收斂區間和級數和 Ans:收斂區間(3,5] : : n=0 n + 1 : ln(x-3) : 級數和--------- : 我會求收斂區間 x-4 : 但想問一下級數和怎麼算 令f(x)=ln(x-3) (很技巧性~但曾經展開過lnx就比較能想到! ) f'(x) = 1/(x-3) = 1/(1-[-(x-4)]) = ... 得到 f(x) = ln(x-3)/(x-4) ; if x is on (3,5] and x≠4 = 0 ; if x=4 : : 　　 π/2 tanx : : 4. For ∫ ----------- dx : : π/3 (lncosx)^2 : (a)show that its an improper integral; : (b)evaluate or show that its diverges. : 這題我不會>.< cosπ/2 = 0 f(x) 在 π/2 時不連續 t 2 所以要寫成 lim ∫ [tanx/(lncosx) ] dx t→π/2- π/3 去算這個積分 : : 2 2 : : 6. 找出曲面 z + xy - 2x - y = 1 上所有切點，且其切面要與 z=2平行. : 以下是他的解法跟答案 : 我想請教一下是對的嗎? : : 　 因為曲面梯度▽f(x,y,z)= <y-2, x-2y, 2z> 要和 z=2 平行,其法向量(0,0,1) : : 　 Ans: 參數式 x=4, y=2 z=t, t(-R 算出來後還要看交在哪吧 把(4,2,t)代入原曲面~可得到兩個點 : : 2 2 2 2 : : 7. f(x,y)= 6x -8x + 2y -5 在區域 x + y ≦1 的極值? : 請問一下是像下面說的這樣解嗎? : 但為何要分開討論呀? : : 將區域內 x^2 + y^2 < 1 和 x^2 + y^2=1 分別討論 : : 　　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^　　^^^^^^^^^^^　　　　　　　　 : : 　　　　　無限制叢集求極值 有限制條件求極值(Lagrange乘數法) : : 　　　　Ans: 有極小值-23/3　 Ans: 有極小值-7 極大值9 : : 臨界點(2/3, 0) 臨界點(1,0), (-1,0) 其實你用無限制條件下求極值所得到的就是整個函數的相對極值 不只是在x^2 + y^2 < 1而已~所以求出的點還要檢查是不是在x^2 + y^2 < 1裡面 但還要考慮限制的邊界x^2 + y^2=1 ~ 才要用Langrange去解 : : cos[(x-y)/2] : : 9. 求∫∫-------------- dA 之值... 　這是典型的線性變換重積.. : : R 3x + y : : 積分區域 y=x, y=x-π, y=-3x+3, y=-3x+6 : : 6 π cos(u/2) : : 　 令 u=x-y, v=3x+y 計算出 |J|= 1/4 變為 (1/4)*∫∫ --------- dudv : : ^^^^^^^^ 3 0 v : : 　　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^^^　　　　　　　　　　　 Ans: (1/2)ln2 : ^^^^^^^^ : ^^^^^^^^ : 令u,v的部分我還看得懂,比較想問這個是什麼呀? : 怎麼算出來的? 而且為何要乘在積分式的前面呀? 變數變換後就會有個因子出來做調整 比較簡單的例子 u=2x → du=2dx 所以du≠dx 會多出個2來做調整 兩個變數的也是 這裡的 J= ▕ dx/du dx/dv ▕ ▕ dy/du dy/dv ▕ 裡面應該用偏微分符號~但很遺憾的我找不到 這是取行列式值的意思 ∫∫ f(x,y)dydx = ∫∫ f( x(u,v) , y(u,v) ) |J| dvdu A B |J|是取絕對值的意思 A跟B就是積分範圍~符號不嚴謹不好意思~ 所以整理一下得 x= (u+v)/4 y= (-3u+v)/4 J= ▕ 1/4 1/4▕ = 1/16 -(-3/16) = 1/4 ▕ -3/4 1/4▕ --

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