作者Elfiend (小孩)
看板trans_math
標題Re: 請教一下94年淡江管科所的微積分題目^^
時間Sat May 14 15:19:09 2005
※ 引述《tefn (OS去吃屎)》之銘言：
: 題目如下:
: 1.假設z=f(x,y),x=ue^v,y=ue^-v,求偏微u^2(請用u,c,fxy或fyy表示)
: 2.f(x)=1/1+e^x的圖
因e^x恆正所以f(x)恆正且大於零，圖型在x軸之上
又 f'(x)=-e^x/(1+e^x)^2 < 0 所以遞減
f''(x)=-e^x+e^(3x) / (1+e^x)^4
x │-∞ │ -x │ 0 │ x │ ∞
──┼──┼──┼──┼──┼── y=1 ─┐
f(x)│ 1 │ │ 1/2│ │ 0 圖型為： └─ y=0
──┼──┼──┼──┼──┼── ↑↑↑
f'' │ 0 │ - │ 0 │ + │ 0 這是曲線...
↑ ↑
凹口向下 凹口向上
---
: 3.find all local maxima and local minima for f(x,y)=x^3+y^2+2xy-4x-3y+5
Fx = 3x^2 + 2y -4 = 0 聯立得 (3x+1)(x-1)=0
Fy = 2y + 2x -3 = 0 二點：(-1/3 ,11/6)(1,1/2)
Fxx= 6x Fxy= 2
Fyx= 2 Fyy= 2
Δ= 12x-4
Δ(-1/3,11/6) < 0 為鞍點
Δ(1 , 1/2) > 0 Fxx = 6 >0 為local min
---
: 4.decide whether each of the following infintite series
: is convergent or divergent
: a. ∞ b.∞
: E 1/nlogn E 2^n*n!/n^n
: n=1 n=1
↑↑是指lnx吧？是的話就↓↓
a.令F(x)=1/xlnx 因F(x)恆正，且遞減[F(n+1)<F(n)]
∞ ∞
By Integral test ∫F(x)dx 與 Σ1/nlogn 同斂散
1 1
∞ ∞ │∞
∫ dx/xlnx = ∫ d(lnx)/lnx = ln(lnx) │ = ∞ + ∞ = ∞ 所以 div.
1 1 │1
b.By ratio test
2^(n+1)*(n+1)! n^n
lim a(n+1)/a(n) = lim ---------------- * --------------
n->∞ n->∞ (n+1)^(n+1) 2^n*n!
2*(n+1) 2
=lim ------------------------- = --- < 1 所以 conv.
n->∞ (n+1)[(n+1)/n]^n e
※ 編輯: Elfiend 來自: 220.139.141.58 (05/14 16:27)