作者Acrylates (金色狂風(別倒著唸))
看板trans_math
標題Re: [微分] 請教高手幾個問題
時間Sun Apr 10 11:06:00 2005
※ 引述《mmmbop (隨. 緣. 轉. 念.)》之銘言：
: ※ 引述《chen0404 (這個冬天會很暖)》之銘言：
: : 1.設f(x)= x / (x+1)(x+2)...(x+10) 求f'(10) ??
: 10 10
: π (n+10) - 10 π(n+10)^9
: n=1 n=1
: f'(10)=-----------------------------------
: 10
: π n(n+10)^2
: n=1
x
{----------------------}'
(x+1)(x+2)...(x+10)
(x+1)(x+2)...(x+10) - x．{(x+1)(x+2)...(x+10)}'
= -----------------------------------------------------
{(x+1)(x+2)...(x+10)}^2
(x+1)(x+2)...(x+10) - x．{(x+2)(x+3)...(x+10)+(x+1)(x+3)(x+4)...(x+10)+
= ---------------------------------------------------------------------------
{(x+1)(x+2)...(x+10)}^2
...+(x+1)(x+2)(x+3)...(x+9)}
---------------------------------------------
至於
10 9 9 9 9 9
x.π (n+10) = x(1+10)(2+10)(3+10)...(10+10) for x=10
n=1
10 2 2 2 2
π n(n+10)^2 = 1(1+10) ．2(2+10) ．3(3+10) ．...．10(10+10)
n=1
這兩個似乎不是用在這邊 (有錯請指教)
: 不知道是不是降
: 分式和乘積微分
這種問題的解答方式通常有兩種 一是導數定義 二是對數微分法
導數定義通常是求f'(0) 此時f(0)也為零 因此f(x)能消去分母x來求解
但本題不是 因此考慮對數微分法
x
令f(x) = ----------------------
(x+1)(x+2)...(x+10)
x
則 ln|f(x)| = ln |--------------------|
(x+1)(x+2)...(x+10)
= ln|x| - ln|x+1|-ln|x+2|-....-ln|x+10|
兩邊微分
f'(x) 1 1 1 1
------ = --- - ----- - ----- -...- -----
f(x) x x+1 x+2 x+10
移項
1 1 1 1
f'(x) = f(x){--- - ----- - ----- -...- -----}
x x+1 x+2 x+10
x 1 1 1 1
= --------------------- {--- - --- - --- -...- --- }
(x+1)(x+2)...(x+10) x x+1 x+2 x+10
將 x=10 代入
10 1 1 1 1
f'(10) = -------------------- {-- - -- - -- -...- -- }
11．12．...20 10 11 12 20
#
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.174.171.211
※ 編輯: Acrylates 來自: 218.174.171.211 (04/10 11:06)
1F：推 mmmbop:我就是指直接微分~表示不同答案應該一樣 218.34.226.161 04/12
2F：推 mmmbop:唉呀~原來不太對~ 218.34.226.161 04/12
3F：推 mmmbop:改好啦~哈哈哈! 218.34.226.161 04/12