※ 引述《anson0810 (奇  )》之銘言： : 標題: [積分] 請問兩題積分的問題... : 時間: Sat Apr 2 03:22:10 2005 : : 1. S S exp -(3x^2+4xy+2y^2) dx dy : 積分範圍從負無限大到無限大 : : 2. : ∞ : ∫ sin(x^2) dx : 0 : : 麻煩各位高手了 : tkx : : -- :

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 61.216.83.112 : 推 Acrylates:第二題令u=x^2試試 218.174.160.33 04/02 : 推 anson0810:可是令u=x^2時,du就變成2xdx了..多一個x???? 59.112.82.177 04/02 那我解解看吧 2 令 u = x du = 2x dx du 1 dx = ----- = ------ du 2x 2√u x→0 則u→0 x→∞ 則u→∞ ╭∞ 1 原式 = │ sinu． ------ du ╯0 2√u 1 ╭∞ sinu = ---│ -----du 2 ╯0 √u ╭∞ sinu 接著分兩部份來討論 │ ------du ╯0 √u 2 ╭∞ -u √π (1) 因 │ e du = --- (這部份請你自己算 一般課本參考書上都有的重要經典題) ╯0 2 √u 令 υ = √(ut) dυ = ----du 2√t 2 ╭∞ -υ ╭∞ -ut √u √π 故 │ e dυ = │ e ---- dt = --- ╯0 ╯0 2√t 2 -ut ╭∞ e √π 即 │ ---- dt = ----- ╯0 √t √u (2) ╭∞ sinu │ ------du ╯0 √u ╭∞ 1 ╭∞ -ut 1 = │ sinu．( ---- │ e ----dt) du ╯0 √π ╯0 √t -ut 1 ╭∞╭∞ e sinu = --- │ │ ---------- dtdu √π╯0 ╯0 √t -ut 1 ╭∞╭∞ e sinu = --- │ │ ---------- dudt √π╯0 ╯0 √t 1 ╭∞ 1 ╭∞ -ut = --- │ ---- {│ e sinu du}dt √π ╯0 √t ╯0 ╭∞ -ut 1 (│ e sinudu用分部積分算 可得 ------ ) ╯0 1+t^2 1 ╭∞ 1 = --- │ ------------dt √π ╯0 √t (1+t^2) 2 1 (令 y = t dt = ------ dy) 2 √y 1 ╭∞ 1 1 = --- │ ------------ ．----- dy √π ╯0 1/4 2√y y (1+y) 1 ╭∞ 1 = ----- │ ------------ dy 2√π ╯0 3/4 y (1+y) 1 3 (上式積分為beta函數吧 B(--- , ---) ) 4 4 1 1 3 = -----B(---,---) 2√π 4 4 Γ(m)Γ(n) (beta和gamma有個互換公式 B(m,n) = ------------) Γ(m+n) 1 3 Γ(---)Γ(---) 1 4 4 = ------ -------------- 2√π 1 3 Γ(---+---) 4 4 π (Γ(1) = 1 , Γ(1/4)Γ(1-1/4) = -----------) sin(π/4) 1 (√2)π π = ------ ------------ = √(---) 2√π 1 2 回到本題 1 ╭∞ sinu 原式 = --- │ ------du 2 ╯0 √u 1 π = --- √(---) 2 2 # ╭∞ sinu │ ------du 結果最好記一下 ╯0 √u --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.174.172.141 ※ 編輯: Acrylates 來自: 218.174.172.141 (04/06 01:03)