※ 引述《anson0810 (奇  )》之铭言： : 标题: [积分] 请问两题积分的问题... : 时间: Sat Apr 2 03:22:10 2005 : : 1. S S exp -(3x^2+4xy+2y^2) dx dy : 积分范围从负无限大到无限大 : : 2. : ∞ : ∫ sin(x^2) dx : 0 : : 麻烦各位高手了 : tkx : : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) : ◆ From: 61.216.83.112 : 推 Acrylates:第二题令u=x^2试试 218.174.160.33 04/02 : 推 anson0810:可是令u=x^2时,du就变成2xdx了..多一个x???? 59.112.82.177 04/02 那我解解看吧 2 令 u = x du = 2x dx du 1 dx = ----- = ------ du 2x 2√u x→0 则u→0 x→∞ 则u→∞ ╭∞ 1 原式 = │ sinu． ------ du ╯0 2√u 1 ╭∞ sinu = ---│ -----du 2 ╯0 √u ╭∞ sinu 接着分两部份来讨论 │ ------du ╯0 √u 2 ╭∞ -u √π (1) 因 │ e du = --- (这部份请你自己算 一般课本参考书上都有的重要经典题) ╯0 2 √u 令 υ = √(ut) dυ = ----du 2√t 2 ╭∞ -υ ╭∞ -ut √u √π 故 │ e dυ = │ e ---- dt = --- ╯0 ╯0 2√t 2 -ut ╭∞ e √π 即 │ ---- dt = ----- ╯0 √t √u (2) ╭∞ sinu │ ------du ╯0 √u ╭∞ 1 ╭∞ -ut 1 = │ sinu．( ---- │ e ----dt) du ╯0 √π ╯0 √t -ut 1 ╭∞╭∞ e sinu = --- │ │ ---------- dtdu √π╯0 ╯0 √t -ut 1 ╭∞╭∞ e sinu = --- │ │ ---------- dudt √π╯0 ╯0 √t 1 ╭∞ 1 ╭∞ -ut = --- │ ---- {│ e sinu du}dt √π ╯0 √t ╯0 ╭∞ -ut 1 (│ e sinudu用分部积分算 可得 ------ ) ╯0 1+t^2 1 ╭∞ 1 = --- │ ------------dt √π ╯0 √t (1+t^2) 2 1 (令 y = t dt = ------ dy) 2 √y 1 ╭∞ 1 1 = --- │ ------------ ．----- dy √π ╯0 1/4 2√y y (1+y) 1 ╭∞ 1 = ----- │ ------------ dy 2√π ╯0 3/4 y (1+y) 1 3 (上式积分为beta函数吧 B(--- , ---) ) 4 4 1 1 3 = -----B(---,---) 2√π 4 4 Γ(m)Γ(n) (beta和gamma有个互换公式 B(m,n) = ------------) Γ(m+n) 1 3 Γ(---)Γ(---) 1 4 4 = ------ -------------- 2√π 1 3 Γ(---+---) 4 4 π (Γ(1) = 1 , Γ(1/4)Γ(1-1/4) = -----------) sin(π/4) 1 (√2)π π = ------ ------------ = √(---) 2√π 1 2 回到本题 1 ╭∞ sinu 原式 = --- │ ------du 2 ╯0 √u 1 π = --- √(---) 2 2 # ╭∞ sinu │ ------du 结果最好记一下 ╯0 √u --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 218.174.172.141 ※ 编辑: Acrylates 来自: 218.174.172.141 (04/06 01:03)