作者diaspora (有人還醒著嗎?)
看板trans_math
標題Re: [積分] 証明題...
時間Tue Mar 29 02:18:13 2005
※ 引述《vincetoh (阿阿)》之銘言：
: 想問一題証明題:
: show that (x-1)/x <= lnx <= (x-1) for all x>0, x>= 1 and 0<x<1.
: 請問要怎麼証明呢??
: 謝謝!!
手邊書有類似題
均值定理
f(x)=ln(1+x)
f'(c)= 1/1+x 均值定理知道有一c在0到x之間
使得 1/1+c=[f(x)-f(0)]/(x-0) =ln(1+x)/x------(1)
因為 0<c<x => 1<c+1<x+1
=>1/(x+1)<1/(1+c)<1 代入(1)
=>1/(x+1)<ln(1+x)/x<1
=>x/(x+1)<ln(1+x)<x
同一個方法,或代y=1+x進去可以得到你那一題..但是只解了 x>=1
x=1可直接代入得證
0<x<1 可設f(x)=ln(1/x) 再重新來一次
f'(x)= -1/x 知在 0<x<c<1 下
-1/c= [ln(1/1)-ln(1/x)]/(1-x) (負號代一下得) 1/c= (lnx)/(x-1)
因為 x<c<1 故 1/x>1/c>1 代入上式
1/x>(lnx)/(x-1)>1
同乘(x-1) 因為小於一故變號
=> (x-1)/x<lnx<x-1
此時0<x<1 得證
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應該沒錯吧..大家看一下...
※ 編輯: diaspora 來自: 203.67.108.16 (03/29 02:49)
1F：→ diaspora:我發現用lnX就可以了,不用改成ln(1/x) 203.67.108.16 03/29
2F：→ diaspora:懶的改了...寫的亂七八糟的,不好意思... 203.67.108.16 03/29