作者diaspora (有人还醒着吗?)
看板trans_math
标题Re: [积分] 证明题...
时间Tue Mar 29 02:18:13 2005
※ 引述《vincetoh (阿阿)》之铭言：
: 想问一题证明题:
: show that (x-1)/x <= lnx <= (x-1) for all x>0, x>= 1 and 0<x<1.
: 请问要怎麽证明呢??
: 谢谢!!
手边书有类似题
均值定理
f(x)=ln(1+x)
f'(c)= 1/1+x 均值定理知道有一c在0到x之间
使得 1/1+c=[f(x)-f(0)]/(x-0) =ln(1+x)/x------(1)
因为 0<c<x => 1<c+1<x+1
=>1/(x+1)<1/(1+c)<1 代入(1)
=>1/(x+1)<ln(1+x)/x<1
=>x/(x+1)<ln(1+x)<x
同一个方法,或代y=1+x进去可以得到你那一题..但是只解了 x>=1
x=1可直接代入得证
0<x<1 可设f(x)=ln(1/x) 再重新来一次
f'(x)= -1/x 知在 0<x<c<1 下
-1/c= [ln(1/1)-ln(1/x)]/(1-x) (负号代一下得) 1/c= (lnx)/(x-1)
因为 x<c<1 故 1/x>1/c>1 代入上式
1/x>(lnx)/(x-1)>1
同乘(x-1) 因为小於一故变号
=> (x-1)/x<lnx<x-1
此时0<x<1 得证
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应该没错吧..大家看一下...
※ 编辑: diaspora 来自: 203.67.108.16 (03/29 02:49)
1F：→ diaspora:我发现用lnX就可以了,不用改成ln(1/x) 203.67.108.16 03/29
2F：→ diaspora:懒的改了...写的乱七八糟的,不好意思... 203.67.108.16 03/29