作者t8vi (vivi)
看板teaching
標題[請益] 高中數學─不等式部份的題目
時間Fri Feb 13 13:48:34 2009
有一個圓柱體，要在柱體表面鍍金。柱體的半徑為r，高為h，請問當h和r的關係為何時，表面為最小？
我一開始算出來是h=r，不過答案是h=2r，可是我後來代數字進去，h和r好像沒什麼關係，我覺得題目好像有少給條件XD，想請大家幫幫我，謝謝^^
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◆ From: 122.121.133.132
1F：推 ByronC:表面積=2πr^2+2πrh=2πr(r+h) 02/13 14:37
2F：→ ByronC:表面積要最小只要r或h越小越好，所以應該是少條件了 02/13 14:38
3F：推 littlefox021:我猜是體積固定的情況下 02/13 15:07
4F：→ littlefox021:如果你直接把表面積式子微分會得到 r=-2h >_<! 02/13 15:08
5F：推 ByronC:假設體積固定為K，2πhr^2=K，表面積=K/h+K/r 02/14 00:36
6F：→ ByronC:算幾不等式的極值在r=h時，最小表面積為4πr^2 02/14 00:37
7F：→ t8vi:謝謝^^ 看來題目是少條件囉XD 我在想說是不是hr^2為定值XD 02/14 09:47
8F：→ t8vi:圓柱體的體積是hπr^2嗎??? 02/15 00:10
9F：→ t8vi:如果圓柱體體積是hπr^2=K，則hr^2=K/π為定值 02/15 00:12
10F：→ t8vi:表面積=2πr(r+h)=2π(r^2+hr)，其中r^2+hr是變動 02/15 00:13
※ 編輯: t8vi 來自: 140.127.57.223 (02/15 00:15)
11F：→ t8vi:r^2+hr/2+hr/2大於等於3‧(K/2π)^(2/3)，等號成立時，h=2r 02/15 00:18
※ 編輯: t8vi 來自: 140.127.57.223 (02/15 00:19)
12F：→ t8vi:請問這樣對嗎? 02/15 00:19