※ [本文轉錄自 Gossiping 看板 #1VKSlQ1K ] 作者: Glamsight (安穩殘憶) 看板: Gossiping 標題: [問卦] 【七維空間是否成立？】數學家集結 40 台 時間: Fri Sep 4 13:08:40 2020 難題備註請放最後面 違者新聞文章刪除 1.媒體來源: ※ 例如蘋果日報、自由時報（請參考版規下方的核准媒體名單） 科技橘報 2.記者署名: ※ 若新聞沒有記者名字或編輯名字，請勿張貼，否則會被水桶14天 ※ 外電至少要有來源或編輯 如:法新社 責任編輯：賴佩萱 3.完整新聞標題: ※ 標題沒有完整寫出來 ---> 依照板規刪除文章 【七維空間是否成立？】數學家集結 40 台電腦算力，半小時破解困擾 90 年的凱勒猜想 難題 4.完整新聞內文: ※ 社論特稿都不能貼！違者刪除（政治類水桶3個月)，貼廣告也會被刪除喔！可詳看版規 https://imgur.com/lC2J66P.jpg 【我們為什麼挑選這篇文章】德國數學家 Ott-Heinrich Keller 於 90 年前提出了所謂 的「凱勒猜想」，這是一個用相同瓷磚覆蓋空間的問題。他對每個維度的空間做出論斷： 在 n 維空間裡，用 n 維立方體填充空間，兩個相鄰的單位體會共用 n-1 個維面。 有關各維度的論證一一浮出檯面，唯讀 7 維空間遲遲未解，但近期在 40 台電腦的強大 算力下，這個難題終於有解了！（責任編輯：賴佩萱） 本文經 AI 新媒體量子位（公眾號 ID：QbitAI）授權轉載，轉載請連繫出處 數學家會程式碼，誰也擋不住！就連困擾人類 90 年的數學猜想也擋不住。來自史丹佛、 CMU 等名校的 4 名數學家，將一個數學難題轉化成了對 10 億個結果進行「暴力搜索」 。 冷門數學題終於破解 他們把這串程式碼輸入 40 台電腦組成的計算集群，30 分鐘後，電腦給出了一個 200 GB 大小的證明結果： 凱勒猜想在不超過 7 維的空間是成立的 。 現在，任何人都可以去 GitHub 上複製這串程式碼，驗證這一數學定理。比較意外的是， 這段獲得電腦學術會議 IJCAR（國際自動推理聯合會議）最佳論文獎的程序，上線 GitHub 半年，只獲得一顆星。 https://imgur.com/0MgdeBp.jpg 那麼，這 4 位數學家要證明的「凱勒猜想」到底是什麼？為何非要用電腦來證明？電腦 證明的結果可靠嗎？ 下面讓我們一一道來。 什麼是凱勒猜想？ 假如用一批完全相同的正方形瓷磚鋪滿地面，中間不留空隙。顯然，瓷磚之間會共用一條 邊，如下圖藍線所示： https://imgur.com/m2H75xz.jpg 在 3 維空間中，如果要用立方體佔滿空間，是不是也和 2 維空間類似呢？ 想像一下，如果像下圖那樣在空間中隨便放入幾個立方體，由此展開填滿整個空間，那麼 唯一的辦法就是讓接上的立方體共用藍色的面。 https://imgur.com/GgqVF5C.jpg 2 維、3 維皆如此，更高維度的空間會怎樣？1930 年，德國數學家凱勒猜測，如果用 n 維立方體填滿無限空間，則立方體之間必然會出現「面對面」，對於任意維度都成立 。 這便是凱勒猜想。 但數學猜想不能僅靠直覺，必須有嚴格的證明。90 年來，數學家一直不懈努力。1940 年 ，數學家 Perron 證明了凱勒猜想在 1 到 6 維空間是成立的 ；1992 年，另外兩位數學 家 Lagarias 和 Shor 證明，凱勒猜想在 10 維空間上是不成立的 （注：這位 Shor 就 是那個提出用量子計算機求解質因數分解的數學家） 那還有 3 個維度沒有解決呢！在 7 維、8 維、9 維 三個維度空間中，凱勒猜想是否成 立？ 有數學論證表明，如果凱勒猜想在 n 維空間上是錯的，那麼它在比 n 更高的維度上也一 定是錯的。2002 年，數學家 Mackey 已證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立，因此在 9 維空間也不成立 。 至此，7 維空間成為唯一的難題。 修改證明方法：電腦「圖論」 可能你已經發現，從上世紀 90 年代以來，凱勒猜想的證明速度大大加快，數學家只用 了 10 年時間就把問題縮小到三個維度。 這主要得益於兩位數學家的貢獻。當年，Perron 求解 1 到 6 維度時，沒有特殊的捷徑 。而到 1990 年，凱勒猜想的證明方法發生了巨大的變化。 數學家 Corrádi 和 Szabó 提出了一種新的方法，把原來無限空間的問題變成有限、離 散的問題，也讓電腦解決凱勒猜想成為可能。 他們巧妙地把凱勒猜想變成圖論問題，就是構造所謂的凱勒圖（Keller Graph），而圖論 正是電腦所擅長的。 在這種方法的指導下，Lagarias 和 Shor 兩人很快在 2 年後就證明了 10 維空間的情況 ：凱勒猜想不成立。又過了 10 年，Mackey 證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立。 那麼，凱勒圖究竟是什麼，它為什麼能夠加速凱勒猜想的證明？ 解析「凱勒圖」構造 首先，我們從最簡單的 2 維情況說起。現在，我們有一種牌，牌上畫著兩個有顏色的點 ，兩個點是有順序的，不能調換，比如，1 黑 2 白≠1 白 2 黑。 兩個點總共可以塗 4 種顏色，顏色分成 2 對：紅色對綠色、白色對黑色。數學家已經證 明，分配給點的顏色相當於正方形在空間中的坐標。兩張牌的顏色是否配對標示了兩個正 方形的相對位置。 點的顏色與正方形的具體關係是這樣的： 1. 兩對點完全相同，表示兩個正方形完全重疊 https://imgur.com/DjtdhwG.jpg 2. 兩對點顏色都不同，且顏色都不配對，表示兩個正方形有部分重疊 https://imgur.com/qeWl5Gk.jpg 3. 一對點顏色相同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形共用一個邊 https://imgur.com/zZA2qUN.jpg 4. 一對點顏色不同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形的邊相互接觸但不重合 https://imgur.com/Tyt43Sx.jpg 2 個點的凱勒圖，要用 2 對顏色去填充牌面，總共有 16 種情況。然後我們把這 16 張 牌擺在桌上，只有符合前面條件 4 的兩張牌，才能用線將二者連起來，這樣就構成了一 張「凱勒圖」。 https://imgur.com/Tzwm2zy.jpg 包含 16 張牌的凱勒圖就描繪了正方形填補平面的所有可能。如果 2 維空間中凱勒猜想 不成立，那麼我們肯定能找到 4 個正方形，它們之間沒有共用的邊，但是能夠無縫隙地 填在一起，然後在屏幕上無限複製這 4 個正方形，就能填滿整個螢幕。 實際上並不可能。如果按此操作，只會得到有著無數孔隙（下圖紫色部分）的填充方式。 https://imgur.com/eh3E2V8.jpg 對應到凱勒圖中，就是在圖中找到 4 張牌，它們兩兩之間都有連線（在數學上，這叫做 完全圖）；顯然，在 2 維問題的凱勒圖中，我們找不到這樣的 4 張牌（可以自己去上面 的凱勒圖中找找看）。 https://imgur.com/Xwv1HkE.jpg 這樣，我們把就把 n 維立方體以及位移 s 與牌的點數 n、顏色對數 s 聯繫起來。 作為更一般的規則，如果要證明 n 維凱勒猜想是錯的，就要在對應的凱勒圖中找到 2n 張牌，且這些牌兩兩相連，但正因為你找不到 4 個張牌組成的完全圖，所以 2 維空間的 凱勒猜想是對的。 為了在 3 維空間中證明凱勒猜想，可以使用 216 張牌，每張牌上 3 個點，並可以使用 3 對顏色（這一點相對靈活）；然後，我們需要尋找 23=8 張牌，它們兩兩之間都有連線 ，但還是找不到。 到了 8 維空間中，我們總算可以找到符合條件的 256 張牌，所以 8 維空間的凱勒猜想 是錯的。 https://imgur.com/moZYPjh.jpg 8 維空間中的一個反例（一個凱勒圖的完全子圖） 七維空間為什麼那麼難解？ 接下來的事情就是在 7 維空間對應的凱勒圖上尋找完全子圖。然而這個問題卻從 8 維問 題解決後被擱置了 17 年。 根據前面的說明，求解 8 維空間和 10 維空間的凱勒猜想，要尋找 28=256 和 210=1024 張牌的子圖，而 7 維空間只要尋找 27=128 張牌的子圖。 後者的難度似乎更小，7 維空間的問題應該更簡單啊！其實不然，因為從某種意義上說， 8 維和 10 維可以「分解」為容易計算的較低維度，但 7 維不行。 證明了 10 維情況的 Lagarias 說：「7 維不好，因為它是質數，這意味著你無法將其分 解為低維，因此別無選擇，只能處理這些圖的全部組合。」 對於人腦來說，尋找大小為 128 的子圖是一項艱鉅的任務，但這恰恰是電腦擅長回答的 問題。 電腦幫幫忙！超強博士生做到了 此前證明 8 維問題的 CMU 教授 Mackey 拉上了史丹佛的數學系博士生 Brakensiek 和專 長電腦輔助證明的助理教授 Heule。 回憶起立項的那天，Mackey 說，Brakensiek 是真正的天才，看著他就像看著 NBA 總決 賽里的 LeBron James。Brakensiek 本人確實很厲害，他曾是 2013/14 兩屆國際訊息學 奧林匹克賽（International Olympiad in Informatics，IOI）金牌得主。 https://imgur.com/jA7lu1i.jpg 論文第一作者 Brakensiek 言歸正傳。為了方便電腦求解，他們換了個方向來思考：先設定牌上有 7 個點、6 種可 能的顏色，按照前面的「條件 4」對這些牌上色，看看能不能找到 128 種不同的填色方 法，如果找不到，那麼凱勒猜想成立。 用電腦輔助證明數學問題，還需要把它變成一系列邏輯運算，也就是處理 0 和 1 之間的 與或非關係。 若要求解 7 維，則總共包含 39000 個不同布爾變量（0 或 1），有 239000 種可能性 ，這是一個非常非常大的數字，有 11741 位數。 https://imgur.com/sL6KzzX.jpg 數學家利用排除法和對稱性，縮小可能解方 一台普通電腦只能處理 324 位數種可能，離解決問題還遠得很，就算交給超級計算機也 不夠；但是，這幾位數學家想到了排除法，只要得到結論，而不必實際檢查所有可能性。 效率才是王道！ 比如，用電腦規則給 128 張牌上色，當你塗到第 12 張牌的時候，發現找不到符合條件 的下一張牌了。那麼所有包含這 12 張牌的排列都可以排除；提升效率的另一種方式是利 用對稱性。如果已經驗證了某種排列不可能，那與之對稱的所有情況都可以排除。 透過這兩種方法，他們把搜索空間縮小到 10 億（230）。這樣一來，用電腦搜索變成了 可能。 最終，他們僅計算了半個小時，便有了答案。 電腦沒有找到符合條件的 128 張牌，所以 7 維空間的凱勒猜想確實成立 。實際上，電 腦提供的不僅僅是一個答案，證明的內容多達 200 GB。4 位論文作者將證明送入電腦的 證明檢查器，確認了它的可靠性。 解決了凱勒猜想後，Heule 的下一個目標是用電腦證明數學裡「最簡單的不可能問題」— — 3n+1 猜想，去年陶哲軒已經「幾乎」解決了這個問題，現在可能只差一步之遙了。 5.完整新聞連結 (或短網址): ※ 當新聞連結過長時，需提供短網址方便網友點擊 https://bit.ly/32XdSkZ 6.備註: ※ 一個人一天只能張貼一則新聞，被刪或自刪也算額度內，超貼者水桶，請注意 ※ 備註請勿張貼三日內新聞(包含連結、標題等) 嗯嗯，跟我想的一樣。 --

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