※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之銘言： : 你和另外兩個人參加一場遊戲 : 要預測一個百面骰的點數 : 可以選 1~100 其中一個正整數 選過的數字其他人不能再選 : 最接近結果的為贏家 : Q1. 如果你是第一個猜的 你會猜什麼數字? : Q2. 如果你是第二個猜的 且第一個猜你前面的答案 則你會猜什麼數字? : Q3. 如果你是第三個猜的 且前兩個猜你前面的答案 則你會猜什麼數字? 首先我想把推文回答的這個設定做一個合理擴充: : → arthurduh1: 2. 如果第三人可以選擇 A、B 兩種方案，獲勝期望值 07/27 02:35 : → arthurduh1: 相同，但一個對第一人較有利，一個較不利。那 07/27 02:35 : → arthurduh1: 第三人會如何做選擇？這個選擇傾向是公共知識嗎？ 07/27 02:36 : (2) 兩種方案期望值相同的話 則選擇機率皆為50% 50% : 這個也是公共知識沒錯 我把它擴充成: 如果每個人的所有最高期望勝率的選擇有不止一個時 該人的選擇將是這些選擇中均勻隨機地選一個 那麼以下有雷 算是個認真的把各個細節機率拿出來討論的做法 (最後會附一個 TL;DR 版, 跳到第 11 頁就是了) 考慮第三人的策略 在前兩人選了 x < y 的狀況下, 第三人有三種選擇: (1) 選 < x: 則選 x-1 有 (x-1)% 機會勝 (2) 選 > y: 則選 y+1 有 (100-y)% 機會勝 (3) 選 (x,y) 之中的數: 這裡要小討論一下了 -- 因為是存在能夠擠出那一點點勝率的選擇 容易看出選這中間可以得到約是 (y-x)/2 % 的勝率 不過如果能運用兩人同時勝利的規則的話可以多擠一點點: 例如前面選的是 50 和 80, 那選 65 能獲勝的範圍是 [58, 72] 15% 機會 但選 64 能獲勝的範圍卻是 [57, 72] 有 16% 機會 而能有 16% 機會的選項有很多個: 選 52 則獲勝範圍是 [51, 66] 也是 16% 選 78 則獲勝範圍是 [64, 79] 也是 16% 總得來說, 若 y-x 是偶數, 則第三人選中間可以有 [(y-x)/2 + 1]% 的勝率 第三人的選擇有 (y-x)/2 - 1 種 如果是奇數呢? 那兩邊只會有一邊是同時勝利 例如已選 50 和 79, 則選 51~78 的所有數都能得到 15% 勝率 若選 53 或 54 則獲勝範圍都是 [52, 66] 選 75 或 76 則獲勝範圍都是 [63, 77], 不管怎樣都是 15% 所以若 y-x 是奇數, 則第三人選中間可以有 [(y-x+1)/2]% 的勝率 第三人的選擇有 y-x-1 種 那麼, 第三人的選項就是這些當中勝率最高的選擇了 ==== 來到第二人 以下為簡化討論設第一人選的 x <= 50 (另一半對稱) 第二人能在第一人選的 x 的兩邊選 如果能夠使第三人和自己選在 x 的不同邊, 那離 x 越近最好 例如若第一人選 48 第二人若選 47, 則第三人會選 49, 這樣第二人有 47% 勝率 (<= 47 勝) 第二人若選 54, 則第三人會選 46, 這樣第二人有 50% 勝率 (>= 51 勝) 有趣的是若第二人選 53, 則第三人有一半一半機會選 46 或 54 前者第二人勝率 50% (>= 51 勝), 後者第二人勝率 3% (只有 51,52,53 勝) 這時自己勝率的期望值只有 26%, 比前兩者都差 那麼, 這裡能夠確定決策的是第三人不會選兩人中間的選擇 這對應第一人選 >= 27 的範圍, 第二人的最佳選擇是 102-x 勝率都是 50% (>= 51 勝) 可以確定這裡沒有其他同樣勝率的選擇 那如果第三人有機會選兩人中間呢? 上面的第三人選擇數就會納入考量了: 例如若第一人選 25, 則第二人選 76 會使第三人選中間有 26% 勝率 由於差是奇數, 第三人會在 26~75 中均勻隨機選一個 那第二人的勝率是: 第三人選 26 則 50% (>= 51 勝) 選 27 或 28 則 49% (>= 52 勝) 選 29 或 30 則 48% (>= 53 勝) ... 選 73 或 74 則 26% (>= 75 勝) 選 75 則 25% (>= 76 勝) 全部平均下來是 37.5% 如果第二人選 77, 則第三人選中間有 27%, 但只會選 27,29,...,75 那第二人的勝率是: 第三人選 27 則 49% (>= 52 勝) 選 29 則 48% (>= 53 勝) ... 選 73 則 26% (>= 75 勝) 選 75 則 25% (>= 76 勝) 全部平均是 37% 類似的討論可以看出, 當中間範圍越大則第二人自己會越吃虧 大致上的勝率是比自己大的部份 + 中間範圍的約一半 但如果比自己大的部份大到第三人會去選那邊則虧更大, 自己的勝率只剩下中間的一半 例如這時如果第二人選 74, 則第三人選 75 有 26% 勝率比選中間更高, 自己就虧了 因此這部份第二人的最佳選擇就會是靠近 2:1 的分界點的數值 例如上例第一人選 25 時第二人最佳選擇是 75, 有 38.5% 勝率 (這裡我刻意跳過第一人選 26 的狀況, 這在下面會討論) ==== 於是終於來到第一人, 同樣設他選 <= 50 的數 第二人的策略表示: 如果第一人選 >= 27 的數 則第二人會把第三人選擇塞到自己的外側來吃掉大部份的勝率 這樣第一人的勝率只剩下中間的一半 因此他需要選這範圍之外的數, 讓第三人選兩人中間的範圍, 保住自己外側 顯然讓自己外側越大越有利, 因為第二人會卡在 2:1 分界點上 自己的勝率總得來說約是自己外側 + 另一邊的三分之一, 自然自己越接近 27 越好 上面已經分析了選 25 的狀況, 這時第二人選 75 第三人的選項給第一人的勝率是: 第三人選 27 則 26% (<= 26 勝) 選 29 則 27% (<= 27 勝) ... 選 73 則 49% (<= 49 勝) 平均下來是 37.5% 若第一人選 26 呢? 第二人選 >= 76 則狀況和上面一樣, 第三人只能選中間 這當中選 76 則有勝率 37.5% 最高 然後第二人選 75 則是一個更有趣的狀況: 第三人的策略對已選 26, 75 的狀況時, 三段他都能選, 都有 25% 勝率 因此第三人的可能策略是 25,27,28,...,73,74,76 這些全部 第二人的這些狀況勝率平均起來將是 37.98%, 比 76 還好 (實際數字是 (38 - 1/50)%) 因此第一人選 26 時第二人會選 75 不過由於 26 和 75 對稱, 第一人的勝率將會和第二人一樣是 37.98%, 也比 25 還好 所以這就是第一人的最終選擇了 ==== 因此最終結論是: 第一人 26, 第二人 75 (或對稱地第一人 75, 第二人 26) 第三人選 [25,76] 中未被選的任一數 前兩人勝率 37.98%, 第三人勝率 25% ==== 把上面這一大串簡化到很簡單的說明就是這樣: (TL;DR 版) 把整段被前兩人選擇切成三段的話 第三人勝率是小邊全部、或大邊全部、或中間的一半, 三者中最大的 第二人要避免第三人吃掉自己的外側, 但又要讓外側儘量大 因此會用中間 2 : 外側 1 的比例切 第一人要避免第二人把第三人的選擇塞到自己這邊來, 但也要讓外側儘量大 所以會選全範圍大約 1/4 的位置 然而剛好在內切一點點的 26 / 75 位置時, 因為兩人同時勝利規則 使得這時第三人的三個選擇都是一樣的 而這個狀況裡就算第三人可能切到自己外側 但因為 1:2:1 的分段關係自己的平均勝率沒有影響太多 所以 26 / 75 就是前兩人的最終選擇 就覺得一些東西相等的地方會有點微妙.... 數學版上有人的回答有點不一樣, 我想應該是 (1) 沒仔細考慮第三人的多重選擇 (2) 因此沒去細算剛好踩線的數值 這樣的關係 不過因為是在筆記本上邊寫邊整理, 應該是沒有算錯但還是可以幫忙檢查一下... -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.177.0.237 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/puzzle/M.1627389303.A.910.html ※ 編輯: LPH66 (180.177.0.237 臺灣), 07/27/2021 20:35:17 第三人勝率在前兩人選擇給定後一定是整數 % 因為每個骰子結果不是贏就是輸, 沒有贏一半 而這時中間也是 25% 的原因就是兩人同時勝利規則 ...不過中間 48 個數字我還真的數錯了 (少+1) 這樣那個機率就是正好 37.98% 了 ※ 編輯: LPH66 (180.177.0.237 臺灣), 07/28/2021 00:00:47