※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之铭言： : 你和另外两个人参加一场游戏 : 要预测一个百面骰的点数 : 可以选 1~100 其中一个正整数 选过的数字其他人不能再选 : 最接近结果的为赢家 : Q1. 如果你是第一个猜的 你会猜什麽数字? : Q2. 如果你是第二个猜的 且第一个猜你前面的答案 则你会猜什麽数字? : Q3. 如果你是第三个猜的 且前两个猜你前面的答案 则你会猜什麽数字? 首先我想把推文回答的这个设定做一个合理扩充: : → arthurduh1: 2. 如果第三人可以选择 A、B 两种方案，获胜期望值 07/27 02:35 : → arthurduh1: 相同，但一个对第一人较有利，一个较不利。那 07/27 02:35 : → arthurduh1: 第三人会如何做选择？这个选择倾向是公共知识吗？ 07/27 02:36 : (2) 两种方案期望值相同的话 则选择机率皆为50% 50% : 这个也是公共知识没错 我把它扩充成: 如果每个人的所有最高期望胜率的选择有不止一个时 该人的选择将是这些选择中均匀随机地选一个 那麽以下有雷 算是个认真的把各个细节机率拿出来讨论的做法 (最後会附一个 TL;DR 版, 跳到第 11 页就是了) 考虑第三人的策略 在前两人选了 x < y 的状况下, 第三人有三种选择: (1) 选 < x: 则选 x-1 有 (x-1)% 机会胜 (2) 选 > y: 则选 y+1 有 (100-y)% 机会胜 (3) 选 (x,y) 之中的数: 这里要小讨论一下了 -- 因为是存在能够挤出那一点点胜率的选择 容易看出选这中间可以得到约是 (y-x)/2 % 的胜率 不过如果能运用两人同时胜利的规则的话可以多挤一点点: 例如前面选的是 50 和 80, 那选 65 能获胜的范围是 [58, 72] 15% 机会 但选 64 能获胜的范围却是 [57, 72] 有 16% 机会 而能有 16% 机会的选项有很多个: 选 52 则获胜范围是 [51, 66] 也是 16% 选 78 则获胜范围是 [64, 79] 也是 16% 总得来说, 若 y-x 是偶数, 则第三人选中间可以有 [(y-x)/2 + 1]% 的胜率 第三人的选择有 (y-x)/2 - 1 种 如果是奇数呢? 那两边只会有一边是同时胜利 例如已选 50 和 79, 则选 51~78 的所有数都能得到 15% 胜率 若选 53 或 54 则获胜范围都是 [52, 66] 选 75 或 76 则获胜范围都是 [63, 77], 不管怎样都是 15% 所以若 y-x 是奇数, 则第三人选中间可以有 [(y-x+1)/2]% 的胜率 第三人的选择有 y-x-1 种 那麽, 第三人的选项就是这些当中胜率最高的选择了 ==== 来到第二人 以下为简化讨论设第一人选的 x <= 50 (另一半对称) 第二人能在第一人选的 x 的两边选 如果能够使第三人和自己选在 x 的不同边, 那离 x 越近最好 例如若第一人选 48 第二人若选 47, 则第三人会选 49, 这样第二人有 47% 胜率 (<= 47 胜) 第二人若选 54, 则第三人会选 46, 这样第二人有 50% 胜率 (>= 51 胜) 有趣的是若第二人选 53, 则第三人有一半一半机会选 46 或 54 前者第二人胜率 50% (>= 51 胜), 後者第二人胜率 3% (只有 51,52,53 胜) 这时自己胜率的期望值只有 26%, 比前两者都差 那麽, 这里能够确定决策的是第三人不会选两人中间的选择 这对应第一人选 >= 27 的范围, 第二人的最佳选择是 102-x 胜率都是 50% (>= 51 胜) 可以确定这里没有其他同样胜率的选择 那如果第三人有机会选两人中间呢? 上面的第三人选择数就会纳入考量了: 例如若第一人选 25, 则第二人选 76 会使第三人选中间有 26% 胜率 由於差是奇数, 第三人会在 26~75 中均匀随机选一个 那第二人的胜率是: 第三人选 26 则 50% (>= 51 胜) 选 27 或 28 则 49% (>= 52 胜) 选 29 或 30 则 48% (>= 53 胜) ... 选 73 或 74 则 26% (>= 75 胜) 选 75 则 25% (>= 76 胜) 全部平均下来是 37.5% 如果第二人选 77, 则第三人选中间有 27%, 但只会选 27,29,...,75 那第二人的胜率是: 第三人选 27 则 49% (>= 52 胜) 选 29 则 48% (>= 53 胜) ... 选 73 则 26% (>= 75 胜) 选 75 则 25% (>= 76 胜) 全部平均是 37% 类似的讨论可以看出, 当中间范围越大则第二人自己会越吃亏 大致上的胜率是比自己大的部份 + 中间范围的约一半 但如果比自己大的部份大到第三人会去选那边则亏更大, 自己的胜率只剩下中间的一半 例如这时如果第二人选 74, 则第三人选 75 有 26% 胜率比选中间更高, 自己就亏了 因此这部份第二人的最佳选择就会是靠近 2:1 的分界点的数值 例如上例第一人选 25 时第二人最佳选择是 75, 有 38.5% 胜率 (这里我刻意跳过第一人选 26 的状况, 这在下面会讨论) ==== 於是终於来到第一人, 同样设他选 <= 50 的数 第二人的策略表示: 如果第一人选 >= 27 的数 则第二人会把第三人选择塞到自己的外侧来吃掉大部份的胜率 这样第一人的胜率只剩下中间的一半 因此他需要选这范围之外的数, 让第三人选两人中间的范围, 保住自己外侧 显然让自己外侧越大越有利, 因为第二人会卡在 2:1 分界点上 自己的胜率总得来说约是自己外侧 + 另一边的三分之一, 自然自己越接近 27 越好 上面已经分析了选 25 的状况, 这时第二人选 75 第三人的选项给第一人的胜率是: 第三人选 27 则 26% (<= 26 胜) 选 29 则 27% (<= 27 胜) ... 选 73 则 49% (<= 49 胜) 平均下来是 37.5% 若第一人选 26 呢? 第二人选 >= 76 则状况和上面一样, 第三人只能选中间 这当中选 76 则有胜率 37.5% 最高 然後第二人选 75 则是一个更有趣的状况: 第三人的策略对已选 26, 75 的状况时, 三段他都能选, 都有 25% 胜率 因此第三人的可能策略是 25,27,28,...,73,74,76 这些全部 第二人的这些状况胜率平均起来将是 37.98%, 比 76 还好 (实际数字是 (38 - 1/50)%) 因此第一人选 26 时第二人会选 75 不过由於 26 和 75 对称, 第一人的胜率将会和第二人一样是 37.98%, 也比 25 还好 所以这就是第一人的最终选择了 ==== 因此最终结论是: 第一人 26, 第二人 75 (或对称地第一人 75, 第二人 26) 第三人选 [25,76] 中未被选的任一数 前两人胜率 37.98%, 第三人胜率 25% ==== 把上面这一大串简化到很简单的说明就是这样: (TL;DR 版) 把整段被前两人选择切成三段的话 第三人胜率是小边全部、或大边全部、或中间的一半, 三者中最大的 第二人要避免第三人吃掉自己的外侧, 但又要让外侧尽量大 因此会用中间 2 : 外侧 1 的比例切 第一人要避免第二人把第三人的选择塞到自己这边来, 但也要让外侧尽量大 所以会选全范围大约 1/4 的位置 然而刚好在内切一点点的 26 / 75 位置时, 因为两人同时胜利规则 使得这时第三人的三个选择都是一样的 而这个状况里就算第三人可能切到自己外侧 但因为 1:2:1 的分段关系自己的平均胜率没有影响太多 所以 26 / 75 就是前两人的最终选择 就觉得一些东西相等的地方会有点微妙.... 数学版上有人的回答有点不一样, 我想应该是 (1) 没仔细考虑第三人的多重选择 (2) 因此没去细算刚好踩线的数值 这样的关系 不过因为是在笔记本上边写边整理, 应该是没有算错但还是可以帮忙检查一下... -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 180.177.0.237 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/puzzle/M.1627389303.A.910.html ※ 编辑: LPH66 (180.177.0.237 台湾), 07/27/2021 20:35:17 第三人胜率在前两人选择给定後一定是整数 % 因为每个骰子结果不是赢就是输, 没有赢一半 而这时中间也是 25% 的原因就是两人同时胜利规则 ...不过中间 48 个数字我还真的数错了 (少+1) 这样那个机率就是正好 37.98% 了 ※ 编辑: LPH66 (180.177.0.237 台湾), 07/28/2021 00:00:47