作者sindarin (官)
看板logic
標題Re: [請益] 證明a=b,then b=a
時間Mon Dec 23 05:00:23 2013
※ 引述《susophist (窄宅)》之銘言:
: ※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言:
想跟著這個討論釐清一下自己也常常混淆的一些概念問題,還請各位不吝指正。
: 把該「axiom scheme」(用拉丁文等)給符號化(symbolize),以「個例化」出特定的
: 「axiom」,如「(x)(y)[x=y → (x=x≡y=x)]」,再UI成「a=b → (a=a≡b=a)」,不正
: 是個邏輯上清楚的推導麼。該「axiom scheme」亦能合邏輯推導規則地「自我證明」為
: 「公理」,不是如此麼。
我想你好像不是很明白axiom和axiom scheme兩個概念的區別。
區分axiom和axiom scheme的功能主要是在於:有了axiom scheme,
我們可以在證明的任意一個步驟中加入我們想要的合於此scheme的句子,以進行證明;
換句話說,一個axiom scheme應該被當作所有合於此形式的句子(也就是axiom)的集合,
這個集合內的所有語句都能被加進證明中,
在axiom scheme出現以前,邏輯學家們做的事情乍看之下是差不多的,
是將axiom內的propositional letter指定替換成另一個propositional letter,
譬如說我現在想要用的句子是(P→Q)→(R→(P→Q)),
但axiom的內容是P→(Q→P),我就指定一個Substitution scheme,
(抱歉,有點不確定是不是叫做這個名字了)寫成:
P├ P→Q
Q├ R
藉此可以得到我想要的(P→Q)→(R→(P→Q))。
當然你可以說這兩件事情是一樣的意思,
但不同公理化方式會有一些理論上的優劣不同,
這個部份我不是非常清楚,還請各位補充。
無論如何,你要說的不是完全錯的,
只是你應該要知道做出這個區分的目的何在。
: 這裡是邏輯的證明,引用維基百科,學術嚴謹度很可疑;除非,是在做社會學的資料統
: 計,等等,較不數理式的論說,「維基」可能還有一些參考的價值。
我以為這個部分比較像是邏輯史的簡單考究,援引一些大家都方便查到的東西做參考;
揪著資料來源質疑,並不能讓你所做出的證明更有說服力。我想這裡不必著墨太多。
: : 3. susophist 在後面那篇給的那個簡單的證明,我認為和我一開始給的那個
: : 是一樣的。惟一的差別只是你要把那條推論規則/公設稱為 law of identity
: : 還是稱它是 Leibniz's Law。
: 我想,「I」既然是個邏輯推論的規則,就會像其他的邏輯推論規則(MP, DeM, CP, etc.)
: 一樣,能夠在其系統內「自我證明」,要不就是「後設地證明」;不太可能會有「不同
: 的」詮釋的空間,因此,你說的「LL」與我說的「I」,應該是不完全相同的東西。
這裡的說明我也看得不是很懂,
你的意思是說:LL有詮釋的空間,而你使用的I沒有;所以你使用的I與LL不同?
: 您的「(3):if a=b then a=a iff b=a」也就是「a=b → (a=a≡b=a)」,其中「a」與「b
: 」是指特定的東西(individual),如此,您的(3)怎麼會是個「axiom」呢。
這裡的(3)是axiom,正是因為他是從scheme個例化而來;
我可以同樣地帶入任何其他的individual,這個句子都還是axiom。
你的質疑仍然是源自於混淆axiom和axiom scheme。
: : 7. 因此, susophist 第一篇文章的那個二階證明是錯的。
: : 問題出在這裡:
: : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G
: : ..........
: : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent
: : 1(10) b=a (9), (5) MP
: : 很明顯, (5) 是錯誤的LL, 所以你不應該能夠從 Gb≡Ga 推得 b=a
: : Gb≡Ga 只告訴你 a 和 b 同時有G或同時沒有G, 但這無法推得它們是同一個東西
: 我不會說(5)是個「LL」,(5)只是個從LL「個例化(UI)」而來的句子之一。
: 按照邏輯(語法/符號上的)規則,從(5)與(9),依「前斷律(MP)」得,(10): b=a,沒錯
: 吧;你說的「(Gb≡Ga)」只有在「同時有G或同時沒有G」時為真,但,
: 「b=a ≡ (Gb≡Ga)」整句要為真,「(Gb≡Ga)」不一定要為真、也可以為假,
: 這是「實質蘊涵」(materially imply)的意思、也就是「→」的真值表(truth table);
: 更何況,我的(5)...(9)和(10),是在(2)的歸謬法的假設之中,不論如何,只要有「矛
: 盾句」,便可得與假設反面的結論「b=a」。要推得它們是同一個, 你必須要有
: (G)(Gb≡Ga); 而不是 Gb≡Ga。請注意,我的「G」是「代入述詞全稱量詞(F)的G」,
: 「G」不是一個量詞(quantifier)
大家都知道這裡的G不是一個量詞,問題在於:
你對LL做了三次UI,而得到(5) b=a ≡(Gb≡Ga),
照正確的LL,應該是做兩次UI,而得到 b=a ≡ (G)(Ga≡Gb),
也就是說,你要有(G)(Ga≡Gb)這個句子,才能用MP得到a=b,
(
for all G, Ga iff Gb)
這個句子的意思顯然跟這個句子做UI以後差很多,
一個是在說:對所有性質G,a具有G的性質,若且唯若b有G的性質;
它做UI以後的結果變成是:a具有一個特定性質G若且唯若b也具有性質G
從這一個句子推到a=b顯然是很奇怪的,
這就像是說a跟b都在吃西瓜,所以他們是同一個東西,
在推到a=b這一步的時候,你需要的是有全稱量限詞的那個句子,
也就是不管a怎樣(吃西瓜、削鉛筆、打撞球),b也都是這樣,
這才能讓我們得到a=b。
另外也對推文提出一點疑問:
1F:→ susophist:我覺得你在吊書袋,邏輯就是每一步都很清楚,不需要「簡 12/22 06:13
2F:→ susophist:化」、「是____的意思」,等等的說詞,只要按部就班,沒 12/22 06:14
3F:→ susophist:學過的人也可以看得懂。 12/22 06:15
4F:→ susophist:就像證「if a=b then b=a」一樣,證(2)是「axiom schema12/22 06:18
5F:→ susophist:」、證從(2)得到「Law of Identity」,沒能證明嗎。12/22 06:19
我想,邏輯本身當然需要很多非形式的說明,
很多定理的證明都包含大量非形式的部分,尤其在闡述某些特定作法的時候,
因此,使用這些說明做為輔助並無不妥;
這跟吊書袋好像沒有太大的關係,
相較起來,我覺得言必稱某某老師更像是一種無謂的訴諸權威,
當然,我想你或許沒有那個意思,但這個行為跟引經據典是相類似的,
書袋或否,大可不必如此認真看待。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 80.114.132.174
※ 編輯: sindarin 來自: 80.114.132.174 (12/23 05:34)
6F:→ susophist:說清楚是發言的基本要求,而不是「我的意思」在某某資料 12/23 08:37
7F:→ susophist:上。我大可不提教授的名字,但事實就是如實地呈現為這樣 12/23 08:38
8F:→ susophist:,問心無愧(別有用心),何必閃東閃西地講。 12/23 08:39
9F:→ susophist:此外,我從來不會說或預設,誰誰不懂這個、那個,等等。 12/23 08:43
10F:→ susophist:你把我的文章刪切成你想要的樣子,這樣不太好。 12/23 08:48