※ 引述《susophist (窄宅)》之铭言： : ※ 引述《MathTurtle (恩典)》之铭言： 想跟着这个讨论厘清一下自己也常常混淆的一些概念问题，还请各位不吝指正。 : 把该「axiom scheme」(用拉丁文等)给符号化(symbolize)，以「个例化」出特定的 : 「axiom」，如「(x)(y)[x=y → (x=x≡y=x)]」，再UI成「a=b → (a=a≡b=a)」，不正 : 是个逻辑上清楚的推导麽。该「axiom scheme」亦能合逻辑推导规则地「自我证明」为 : 「公理」，不是如此麽。 我想你好像不是很明白axiom和axiom scheme两个概念的区别。 区分axiom和axiom scheme的功能主要是在於：有了axiom scheme， 我们可以在证明的任意一个步骤中加入我们想要的合於此scheme的句子，以进行证明； 换句话说，一个axiom scheme应该被当作所有合於此形式的句子(也就是axiom)的集合， 这个集合内的所有语句都能被加进证明中， 在axiom scheme出现以前，逻辑学家们做的事情乍看之下是差不多的， 是将axiom内的propositional letter指定替换成另一个propositional letter， 譬如说我现在想要用的句子是(P→Q)→(R→(P→Q))， 但axiom的内容是P→(Q→P)，我就指定一个Substitution scheme， （抱歉，有点不确定是不是叫做这个名字了）写成： P├ P→Q Q├ R 藉此可以得到我想要的(P→Q)→(R→(P→Q))。 当然你可以说这两件事情是一样的意思， 但不同公理化方式会有一些理论上的优劣不同， 这个部份我不是非常清楚，还请各位补充。 无论如何，你要说的不是完全错的， 只是你应该要知道做出这个区分的目的何在。 : 这里是逻辑的证明，引用维基百科，学术严谨度很可疑；除非，是在做社会学的资料统 : 计，等等，较不数理式的论说，「维基」可能还有一些参考的价值。 我以为这个部分比较像是逻辑史的简单考究，援引一些大家都方便查到的东西做参考； 揪着资料来源质疑，并不能让你所做出的证明更有说服力。我想这里不必着墨太多。 : : 3. susophist 在後面那篇给的那个简单的证明，我认为和我一开始给的那个 : : 　 是一样的。惟一的差别只是你要把那条推论规则／公设称为 law of identity : : 　 还是称它是 Leibniz's Law。 : 我想，「I」既然是个逻辑推论的规则，就会像其他的逻辑推论规则(MP, DeM, CP, etc.) : 一样，能够在其系统内「自我证明」，要不就是「後设地证明」；不太可能会有「不同 : 的」诠释的空间，因此，你说的「LL」与我说的「I」，应该是不完全相同的东西。 这里的说明我也看得不是很懂， 你的意思是说：LL有诠释的空间，而你使用的I没有；所以你使用的I与LL不同？ : 您的「(3):if a=b then a=a iff b=a」也就是「a=b → (a=a≡b=a)」，其中「a」与「b : 」是指特定的东西(individual)，如此，您的(3)怎麽会是个「axiom」呢。 这里的(3)是axiom，正是因为他是从scheme个例化而来； 我可以同样地带入任何其他的individual，这个句子都还是axiom。 你的质疑仍然是源自於混淆axiom和axiom scheme。 : : 7. 因此, susophist 第一篇文章的那个二阶证明是错的。 : : 问题出在这里: : : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : : .......... : : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : : 1(10) b=a (9), (5) MP : : 很明显, (5) 是错误的LL, 所以你不应该能够从 Gb≡Ga 推得 b=a : : Gb≡Ga 只告诉你 a 和 b 同时有G或同时没有G, 但这无法推得它们是同一个东西 : 我不会说(5)是个「LL」，(5)只是个从LL「个例化(UI)」而来的句子之一。 : 按照逻辑(语法/符号上的)规则，从(5)与(9)，依「前断律(MP)」得，(10): b=a，没错 : 吧；你说的「(Gb≡Ga)」只有在「同时有G或同时没有G」时为真，但， : 「b=a ≡ (Gb≡Ga)」整句要为真，「(Gb≡Ga)」不一定要为真、也可以为假， : 这是「实质蕴涵」(materially imply)的意思、也就是「→」的真值表(truth table)； : 更何况，我的(5)...(9)和(10)，是在(2)的归谬法的假设之中，不论如何，只要有「矛 : 盾句」，便可得与假设反面的结论「b=a」。要推得它们是同一个, 你必须要有 : (G)(Gb≡Ga); 而不是 Gb≡Ga。请注意，我的「G」是「代入述词全称量词(F)的G」， : 「G」不是一个量词(quantifier) 大家都知道这里的G不是一个量词，问题在於： 你对LL做了三次UI，而得到(5) b=a ≡(Gb≡Ga)， 照正确的LL，应该是做两次UI，而得到 b=a ≡ (G)(Ga≡Gb)， 也就是说，你要有(G)(Ga≡Gb)这个句子，才能用MP得到a=b， (for all G, Ga iff Gb) 这个句子的意思显然跟这个句子做UI以後差很多， 一个是在说：对所有性质G，a具有G的性质，若且唯若b有G的性质； 它做UI以後的结果变成是：a具有一个特定性质G若且唯若b也具有性质G 从这一个句子推到a=b显然是很奇怪的， 这就像是说a跟b都在吃西瓜，所以他们是同一个东西， 在推到a=b这一步的时候，你需要的是有全称量限词的那个句子， 也就是不管a怎样（吃西瓜、削铅笔、打撞球），b也都是这样， 这才能让我们得到a=b。 另外也对推文提出一点疑问： 我想，逻辑本身当然需要很多非形式的说明， 很多定理的证明都包含大量非形式的部分，尤其在阐述某些特定作法的时候， 因此，使用这些说明做为辅助并无不妥； 这跟吊书袋好像没有太大的关系， 相较起来，我觉得言必称某某老师更像是一种无谓的诉诸权威， 当然，我想你或许没有那个意思，但这个行为跟引经据典是相类似的， 书袋或否，大可不必如此认真看待。 --

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