※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言： : 簡短回應: : 1. zoneline 的回應沒有錯, 我那個證明用的 : for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy : 是一個 axiom scheme。 把該「axiom scheme」(用拉丁文等)給符號化(symbolize)，以「個例化」出特定的 「axiom」，如「(x)(y)[x=y → (x=x≡y=x)]」，再UI成「a=b → (a=a≡b=a)」，不正是 個邏輯上清楚的推導麼。該「axiom scheme」亦能合邏輯推導規則地「自我證明」為「公 理」，不是如此麼。 : 2. 我覺得很大的一部份是名稱問題。在一般的 first-order logic裡, : 一定會有這一條, 只是有的把它放在 axioms裡為一個axiom scheme, : 有的把它看成是inference rule。有的人稱它為 LL (Leibniz's law), : 有的人稱它為 SI (substitution of identity), 有的人稱它為 : Identity elimination。我這裡的是把它叫做 LL, 這種稱法我自認為 : 是很傳統的稱呼。例如 wiki 這裡也是這樣叫 : http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic#Equality_and_its_axioms : (我手中沒有其它網路上有的資料). : (在 wiki 這裡也是稱我的(1)和(2)為 reflexivity 和 SI (或LL)， : 　　I think that's a standard name). 這裡是邏輯的證明，引用維基百科，學術嚴謹度很可疑；除非，是在做社會學的資料統計 ，等等，較不數理式的論說，「維基」可能還有一些參考的價值。 : 3. susophist 在後面那篇給的那個簡單的證明，我認為和我一開始給的那個 : 　 是一樣的。惟一的差別只是你要把那條推論規則／公設稱為 law of identity : 　 還是稱它是 Leibniz's Law。 我想，「I」既然是個邏輯推論的規則，就會像其他的邏輯推論規則(MP, DeM, CP, etc.) 一樣，能夠在其系統內「自我證明」，要不就是「後設地證明」；不太可能會有「不同的 」詮釋的空間，因此，你說的「LL」與我說的「I」，應該是不完全相同的東西。 : 4. 我原本的證明的確不夠嚴緊, 我發現裡面有一個錯誤, 是在這裡: : 3. if a=b then a=a iff b=a (2) UI : 在我的證明裡我把它稱為 (2) 的UI, 但這是錯的。 : 應該是UI這個稱呼讓 susophist 誤會我沒有把它看成 axiom scheme : 正確的寫法應該是: : 3. if a=b then a=a iff b=a (axiom) instance of (2) : 也就是說, 這條直接是公設的instance, 不是用 UI 得來的。 您的「(3):if a=b then a=a iff b=a」也就是「a=b → (a=a≡b=a)」，其中「a」與「b 」是指特定的東西(individual)，如此，您的(3)怎麼會是個「axiom」呢。 : 5. Second order logic 可以定義 Identity, 這時也會把這定義稱為是 : Leibniz's law, 但這個Leibniz's Law 與 first order logic中被當成 : 是 axiom scheme/rule 的 LL 是不同的。 兩者，如何地不同？ : 6. 在 Second-order logic 中的 Leibniz's Law 是這一個: : (x)(y)[x=y ≡ (F)(Fx≡Fy)] : (請注意 (F) 的 scope). susophist 在第一篇文章裡給的是有錯的. : 差別在於, 你只能從所有的性質都滿足(Fa≡Fb)時你才能推出 a=b : 而不是對於任何的F, 若(Fa≡Fb)則a=b. 是這樣子嗎，你是對的嗎？如果說我有錯，那也會是台大教授彭孟堯的錯，因為我的「LL: (x)(y)(F)[x=y ≡ (Fx≡Fy)]」是從彭的講義引用來的，在我的發文裡有該講義的網址； 有沒有可能「(x)(y)[x=y ≡ (F)(Fx≡Fy)]」與「(x)(y)(F)[x=y ≡ (Fx≡Fy)]」是邏輯 上「等價」的，即，兩者可相互推導得出彼此，假如是，那就沒有你說的「差別」了： (x)(y)(F)[x=y ≡ (Fx≡Fy)]▕— (x)(y)[x=y ≡ (F)(Fx≡Fy)] (x)(y)[x=y ≡ (F)(Fx≡Fy)]▕— (x)(y)(F)[x=y ≡ (Fx≡Fy)] : 7. 因此, susophist 第一篇文章的那個二階證明是錯的。 : 問題出在這裡: : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : .......... : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : 1(10) b=a (9), (5) MP : 很明顯, (5) 是錯誤的LL, 所以你不應該能夠從 Gb≡Ga 推得 b=a : Gb≡Ga 只告訴你 a 和 b 同時有G或同時沒有G, 但這無法推得它們是同一個東西。 我不會說(5)是個「LL」，(5)只是個從LL「個例化(UI)」而來的句子，之一。 按照邏輯(語法/符號上的)規則，從(5)與(9)，依「前斷律(MP)」得，(10): b=a，沒錯吧 ；你說的「(Gb≡Ga)」只有在「同時有G或同時沒有G」時為真，但，「b=a ≡ (Gb≡Ga)」 整句要為真，「(Gb≡Ga)」不一定要為真、也可以為假，這是「實質蘊涵」(materially imply)的意思、也就是「→」的真值表(truth table)；更何況，我的(5)...(9)和(10)， 是在(2)的歸謬法的假設之中，不論如何，只要有「矛盾句」，便可得，與假設反面的結論 「b=a」。 : 要推得它們是同一個, 你必須要有 (G)(Gb≡Ga); 而不是 Gb≡Ga。 請注意，我的「G」是「代入述詞全稱量詞(F)的G」，「G」不是一個量詞(quantifier)。 --

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