作者zoneline (人來人往)
看板logic
標題Re: [請益] 證明a=b,then b=a
時間Sun Dec 22 05:54:36 2013
我還是再回一篇好了。
: 很抱歉,不是很懂您回的內容,感覺有些其他的問題在裡面,似乎可以寫得更清楚或聚焦
: 些;我試著整理看看:根據「完構語句」(wff, well form formular)的規則,從「公理句
: 式」(axiom schema)可以得到「公理」(axiom),只要,該公理句式是「邏輯真」的語句,
: 也就是,無須前提即可自我證明/推導的語句;而(2):"for all x, for all y, if x=y,
: then Fx iff Fy",雖少寫了「述詞量詞」('for all F')、不成「完構語句」,但由於它
: 的個例們可來自「公理句式」,所以仍是個「公理」,「Fx」用「x=a」代入,是其中的一
: 個個例。
為了避免再誤解,我直把將(2)寫成
(2) ∀x∀y(x=y → (φx ↔ φy))
這就很清楚,「φx」和「φy」不是一階述詞邏輯的 wff ,「φ」不在一階述詞邏輯
的vocabulary裡。為了說明,現規定「Fx」和「Rx」是這套邏輯裡的述詞符號,因此
(2a) ∀x∀y(x=y → (Fx ↔ Fy))
(2b) ∀x∀y(x=y → (Rx ↔ Ry))
這兩個才是述詞邏輯裡的 wff 。(2)在系統內沒有真假值,(2a)和(2b)在系統內才有真
假值,把(2)當作axiom schema意思就是:將(2)的「φ」換成任何述詞符號,出現的
wff ── 包括(2a)和(2b) ── 都是axiom。(Hunter的表達方式不同,但涵蓋這個意
思)
我不知道你要我給哪個東西「邏輯上」的證明,也不清楚你要求的「邏輯上的證明」是
甚麼意思。如果你是要我在系統內證明(2)是 true in all interpretations ,我做不
到,因為沒有 interpretation 可以 assign 真假值給 (2)。如果你是要我給一個後設
證明,證明「(2)的所有個例都是 true in all interpretations ,那你直接看 Hunter
的 Metalogic p.200 比較快。
: 我的意見為,參考所上老師的講法,「等同項不可分辨律」(LL1: (x)(y)(F) [x=y →
: (Fx≡Fy)])屬二階邏輯,述詞量詞「(F): for all F」是可用「=a」代入的,因為「等同
: 」也是一個「性質」(除非某人認為等同不是一個性質),只不過,代入後,「Fx」便是個
: 「二位述詞」(two-place predicate),理由是,「x=a」有兩個元項(instances/entities
: ),這是後話;萊布尼茲等同律(LL)是二階邏輯句,二階邏輯是「不完備的」,表示,並非
: 所有的二階邏輯公理(或定理)都「必定有」邏輯的證明,所以用LL證明「a=b, therefore
: b=a」有疑慮,而,這也關連到要問您的問題:您說(2)、或(2)的「axiom」,是「公理的
: 句式」(schema)、或「公理句式」(axiom schema),可以給(邏輯上的)證明嗎,說某句子
: 是個公理(axiom/axiom schema),一定可以給出「證明」吧。
你要在系統內寫出 indiscernibility of identicals ,那當然是用二階邏輯寫。問
題是(2)本來就不是要在系統內寫出 indiscernibility of identicals ,而是要根據
indiscernibility of identicals 劃分出某一些 wff 是 axiom ,例如(2a)和(2b)是
axiom。
我覺得你可能是還沒分得出 axiom 和 axiom schema ,才會感到混淆,而且看不出數
龜簡化了甚麼(我是憑他過往的發言素質認為他是故意簡化,不知道他本人意思如何)
。我不覺得他的寫法有「失邏輯的嚴謹性」這麼嚴重,因為他就只是把(2)叫做「axiom」
,而不是叫做「axiom schema」而已。他用(2)的時候還是沒有用錯。
這點我沒有能力再解釋。我提到的書,其實都有電子檔,你可以輕易在網上找到,如果
你想要網址,可以聯絡我(我不太會用bbs,應該有水球功能?)。
: 其實,證明「a=b, therefore b=a」不必「萊布尼茲等同律(LL)」。先舉個類似的證明:
: 1(1) Ha P1
: 2(2) a=b P2
: 1,2(3) Hb (1), (2) I(law of identity) Q.E.D.
: 同樣地(I: law of identity),證明「a=b, therefore b=a」:
: 1(1) a=b P.
: (2) a=a I
: 1(3) b=a (2), (1) I Q.E.D
: 註:這是問過趙之振,認為可以的證明。
: (參考資料:林正弘,《邏輯》,三民,頁373-389、尤其381)
: ◎後記:感覺像是繞了一圈,原來證明這樣地直接。
: 以上,謝謝。
最後,你用 Law of Identity 作為規則來證明「if a=b then b=a」。如果系統內有這
條規則,那你是可以很簡單證出沒錯。但其實 Law of Identity 是甚麼規則?你只舉了
一個例子,沒有真正指出你在用的是甚麼規則。如果嘗試陳構那條規則,我覺得你會發
現它原理上就是數龜寫的(2)。我這樣寫,你看是不是你心目中的意思(我現在的環境不
方便找林正弘的《邏輯》):
Law of Identity:
假設推論上有某一行出現 x=y ,而且有一行出現 φx ,那就能透過此規則在接下來
寫 φy
(更general的寫法:由 x=y 和 ψ 可推論 ψ[x/y]。
ps. ψ[x/y] 是將 ψ 裡任意數量的 x 換成 y 所形成的 wff)
但是這個推論規則,不正是 (2) 的意思嗎?
(turnstile的位置移掉,但應該可以由converse deduction theorem證明)
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◆ From: 123.203.211.20
1F:→ susophist:我覺得你在吊書袋,邏輯就是每一步都很清楚,不需要「簡 12/22 06:13
2F:→ susophist:化」、「是____的意思」,等等的說詞,只要按部就班,沒 12/22 06:14
3F:→ susophist:學過的人也可以看得懂。 12/22 06:15
4F:→ susophist:就像證「if a=b then b=a」一樣,證(2)是「axiom schema 12/22 06:18
5F:→ susophist:」、證從(2)得到「Law of Identity」,沒能證明嗎。 12/22 06:19
6F:→ zoneline:我不寫是因為太花時間,而且我猜你看不懂,所以才一直提 12/22 08:05
7F:→ zoneline:供來源。我反問你一個問題,你可不可以證明Law of 12/22 08:05
8F:→ zoneline:identity那條規則? 12/22 08:05
9F:→ susophist:(1)a=a I, (2) (x)(x=x) (1)UG Q.E.D. 給像這樣的證明 12/22 08:30
10F:→ susophist:你說(2)是「axiom schema」,公理就是就是「自我證明」 12/22 08:38
11F:→ susophist:(self evident),你說I改自(2),就要推導(derive)阿。 12/22 08:41