我还是再回一篇好了。 : 很抱歉，不是很懂您回的内容，感觉有些其他的问题在里面，似乎可以写得更清楚或聚焦 : 些；我试着整理看看：根据「完构语句」(wff, well form formular)的规则，从「公理句 : 式」(axiom schema)可以得到「公理」(axiom)，只要，该公理句式是「逻辑真」的语句， : 也就是，无须前提即可自我证明/推导的语句；而(2):"for all x, for all y, if x=y, : then Fx iff Fy"，虽少写了「述词量词」('for all F')、不成「完构语句」，但由於它 : 的个例们可来自「公理句式」，所以仍是个「公理」，「Fx」用「x=a」代入，是其中的一 : 个个例。 为了避免再误解，我直把将(2)写成 (2) ∀x∀y(x=y → (φx ↔ φy)) 这就很清楚，「φx」和「φy」不是一阶述词逻辑的 wff ，「φ」不在一阶述词逻辑 的vocabulary里。为了说明，现规定「Fx」和「Rx」是这套逻辑里的述词符号，因此 (2a) ∀x∀y(x=y → (Fx ↔ Fy)) (2b) ∀x∀y(x=y → (Rx ↔ Ry)) 这两个才是述词逻辑里的 wff 。(2)在系统内没有真假值，(2a)和(2b)在系统内才有真 假值，把(2)当作axiom schema意思就是：将(2)的「φ」换成任何述词符号，出现的 wff ── 包括(2a)和(2b) ── 都是axiom。（Hunter的表达方式不同，但涵盖这个意 思） 我不知道你要我给哪个东西「逻辑上」的证明，也不清楚你要求的「逻辑上的证明」是 甚麽意思。如果你是要我在系统内证明(2)是 true in all interpretations ，我做不 到，因为没有 interpretation 可以 assign 真假值给 (2)。如果你是要我给一个後设 证明，证明「(2)的所有个例都是 true in all interpretations ，那你直接看 Hunter 的 Metalogic p.200 比较快。 : 我的意见为，参考所上老师的讲法，「等同项不可分辨律」(LL1: (x)(y)(F) [x=y → : (Fx≡Fy)])属二阶逻辑，述词量词「(F): for all F」是可用「=a」代入的，因为「等同 : 」也是一个「性质」(除非某人认为等同不是一个性质)，只不过，代入後，「Fx」便是个 : 「二位述词」(two-place predicate)，理由是，「x=a」有两个元项(instances/entities : )，这是後话；莱布尼兹等同律(LL)是二阶逻辑句，二阶逻辑是「不完备的」，表示，并非 : 所有的二阶逻辑公理(或定理)都「必定有」逻辑的证明，所以用LL证明「a=b, therefore : b=a」有疑虑，而，这也关连到要问您的问题：您说(2)、或(2)的「axiom」，是「公理的 : 句式」(schema)、或「公理句式」(axiom schema)，可以给(逻辑上的)证明吗，说某句子 : 是个公理(axiom/axiom schema)，一定可以给出「证明」吧。 你要在系统内写出 indiscernibility of identicals ，那当然是用二阶逻辑写。问 题是(2)本来就不是要在系统内写出 indiscernibility of identicals ，而是要根据 indiscernibility of identicals 划分出某一些 wff 是 axiom ，例如(2a)和(2b)是 axiom。 我觉得你可能是还没分得出 axiom 和 axiom schema ，才会感到混淆，而且看不出数 龟简化了甚麽（我是凭他过往的发言素质认为他是故意简化，不知道他本人意思如何） 。我不觉得他的写法有「失逻辑的严谨性」这麽严重，因为他就只是把(2)叫做「axiom」 ，而不是叫做「axiom schema」而已。他用(2)的时候还是没有用错。 这点我没有能力再解释。我提到的书，其实都有电子档，你可以轻易在网上找到，如果 你想要网址，可以联络我（我不太会用bbs，应该有水球功能？）。 : 其实，证明「a=b, therefore b=a」不必「莱布尼兹等同律(LL)」。先举个类似的证明： : 1(1) Ha P1 : 2(2) a=b P2 : 1,2(3) Hb (1), (2) I(law of identity) Q.E.D. : 同样地(I: law of identity)，证明「a=b, therefore b=a」： : 1(1) a=b P. : (2) a=a I : 1(3) b=a (2), (1) I Q.E.D : 注：这是问过赵之振，认为可以的证明。 : (参考资料：林正弘，《逻辑》，三民，页373-389、尤其381) : ◎後记：感觉像是绕了一圈，原来证明这样地直接。 : 以上，谢谢。 最後，你用 Law of Identity 作为规则来证明「if a=b then b=a」。如果系统内有这 条规则，那你是可以很简单证出没错。但其实 Law of Identity 是甚麽规则？你只举了 一个例子，没有真正指出你在用的是甚麽规则。如果尝试陈构那条规则，我觉得你会发 现它原理上就是数龟写的(2)。我这样写，你看是不是你心目中的意思（我现在的环境不 方便找林正弘的《逻辑》）： Law of Identity： 假设推论上有某一行出现 x=y ，而且有一行出现 φx ，那就能透过此规则在接下来 写 φy （更general的写法：由 x=y 和 ψ 可推论 ψ[x/y]。 ps. ψ[x/y] 是将 ψ 里任意数量的 x 换成 y 所形成的 wff） 但是这个推论规则，不正是 (2) 的意思吗？ （turnstile的位置移掉，但应该可以由converse deduction theorem证明） --

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