很抱歉，不是很懂您回的內容，感覺有些其他的問題在裡面，似乎可以寫得更清楚或聚焦 些；我試著整理看看：根據「完構語句」(wff, well form formular)的規則，從「公理句 式」(axiom schema)可以得到「公理」(axiom)，只要，該公理句式是「邏輯真」的語句， 也就是，無須前提即可自我證明/推導的語句；而(2):"for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy"，雖少寫了「述詞量詞」('for all F')、不成「完構語句」，但由於它 的個例們可來自「公理句式」，所以仍是個「公理」，「Fx」用「x=a」代入，是其中的一 個個例。 你說他簡化而不提「axiom schema 和 axiom」的分別，用「大家都直接抓到重點」的(2) 來證明，似乎有失邏輯或數學的「嚴謹性」；然而，至此，我不太認為他有「簡化」的意 思。 我的意見為，參考所上老師的講法，「等同項不可分辨律」(LL1: (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)])屬二階邏輯，述詞量詞「(F): for all F」是可用「=a」代入的，因為「等同 」也是一個「性質」(除非某人認為等同不是一個性質)，只不過，代入後，「Fx」便是個 「二位述詞」(two-place predicate)，理由是，「x=a」有兩個元項(instances/entities )，這是後話；萊布尼茲等同律(LL)是二階邏輯句，二階邏輯是「不完備的」，表示，並非 所有的二階邏輯公理(或定理)都「必定有」邏輯的證明，所以用LL證明「a=b, therefore b=a」有疑慮，而，這也關連到要問您的問題：您說(2)、或(2)的「axiom」，是「公理的 句式」(schema)、或「公理句式」(axiom schema)，可以給(邏輯上的)證明嗎，說某句子 是個公理(axiom/axiom schema)，一定可以給出「證明」吧。 其實，證明「a=b, therefore b=a」不必「萊布尼茲等同律(LL)」。先舉個類似的證明： 1(1) Ha P1 2(2) a=b P2 1,2(3) Hb (1), (2) I(law of identity) Q.E.D. 同樣地(I: law of identity)，證明「a=b, therefore b=a」： 1(1) a=b P. (2) a=a I 1(3) b=a (2), (1) I Q.E.D. 註：這是問過趙之振，認為可以的證明。 (參考資料：林正弘，《邏輯》，三民，頁373-389、尤其381) ◎後記：感覺像是繞了一圈，原來證明這樣地直接。 以上，謝謝。 ※ 引述《zoneline (人來人往)》之銘言： : 我說數龜提到的第二條 axiom : (2) for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy : 其實是axiom schema，因為這條裡面的「Fx」和「Fy」其實可以代入任意性質， : 「F」是後設語言的符號。 : 先做個類比，你可能見過類似這個 wff 的定義： : (a) Every sentence symbol is a wff. : (b) If α and β are wffs, so are ~α, α&β, αvβ, α→β, α↔β. : (c) No express is a wff unless it is compelled to be one by (a) and (b). : （Enderton (2001). A Mathematical Introduction to Logic. p.16） : 「α」和「β」都不是語句邏輯的符號，而是後設語言的符號，可代入任何語句 : 邏輯裡的符號。你可以用這三條規則來判斷「P&~Q」是不是語句邏輯裡的 wff ， : 但這三條規則並沒有用到語句邏輯裡的符號。 : 另一個例子是語句邏輯的 axiomatic proof 一般會包括的三條 axiom schemas ， : 以第一條為例， : (d) φ→(ψ→φ) : 當中的「φ」、「ψ」都不是語句邏輯的符號，因此「φ→(ψ→φ)」本身不是 : axiom ，(d) 在語句邏輯裡也沒有真假可言。不過，「φ」和「ψ」可以替換語 : 句邏輯的 wff ，例如可以換成「P→(Q→P)」、「P→((~QvQ)→P)」等語句邏輯 : 的 wff ，每個替換個例都會是 axiom ，所以才說 (d) 是 schema (架式) ， : 我們可以在推論的任意一行加入 axiom schema 的替換個例，因為我們可以在推 : 論中隨時加入axiom。 : 回到數龜提的 (2) ，他在第3步用了這條 axiom schema 其實是把「Fx」這個後 : 設語言裡的符號換成述詞邏輯裡的符號「x=a」。所以，你說他不是「邏輯上合法 : 的代入規則」，有一半是對的。對的部分是，(2)不是二階邏輯的 wff ，沒有全 : 稱量詞拘束性質「F」，它不是在一階邏輯的系統內用全稱例化從「Fx」換成「x=a」 : 。不對的部分是，(2)本來就不是系統內的 wff ，它是 schema ，雖然每個個例 : 都是 axiom，但是它本身不是 axiom。 : （BTW, 這一招 Saul Kripke 也常用，見 Vacuous Names and Fictional Entities, : in Philosophical Troulbes, p.55 ） : 最後我說他簡化，是指他故意不提 axiom schema 和 axiom 和分別，因為，如果 : 提問的人連「a=b」和「b=a」的分別都看不出來，再提 schema 只會令對方更混亂 : ，反而用他寫的(2)，大家都直接抓到重點，不是嗎？ : 如果你看完還是不知道我在幹嘛，那應該是我講太糟，關於axiom schema，更好的 : 參考文獻是： : Sider, Theodore (2009). Logic for Philosophy. : 第二章的axiomatic proof，或者 : Hunter, Geoffrey (1973). Metalogic, p.72. : 第二本很經典。 : 順帶兩提 : 一、我沒說「你說」他說自反性就是等同性。但是你第一段講得他好像有這個暗示， : 我才強調一下，就跟你在第一段強調「自反性不是等同」一樣。 : 二、萊布尼茲定律最早出現確是雙向的，不過因為 identity of indiscernibles 有 : 太多爭議，而 indiscernibility of identicals 相較之下少很多爭議，所以用現在 : 有不少書都會直接將後者叫做萊布尼茲定律。 : 例 Loux, Michael (1979). The Possible and the Actual. p.42. : ※ 引述《susophist (窄宅)》之銘言： : : 自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，雖然，「等同性」是自反性的一種， : : 另一個自反性的例子是：__是__的子集合。 : : 萊布尼茲等同律(LL)，包含有「等同性」的內容之外，多了，對事物「性質」的討論， : : 萊布尼茲等同律是「二階邏輯」，它對「性質」(述詞, e.g. 'F')進行了量限： : : LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] : : 事實上它包含兩個部分： : : (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同項之不可分辨律」，這是你用的公設(axiom)； : : (x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨項之等同律」。註：這在哲學界有爭議 : : 您的證明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；這似乎，不是邏輯上合法的(代入)規則。 : : 若用LL證明，其步驟如下： : : 1(1) a=b P. premise : : 2(2) ┐(b=a) A. assumption : : (3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL. : : (4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入 : : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : : 1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前斷律 : : 1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律 : : 1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交換律 : : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : : 1(10) b=a (9), (5) MP : : 1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 連言律 : : 1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)歸謬法 Q.E.D. : : 註： : : 項式前面的號碼('1'or'2'or'1,2')係「前提號碼」，「空格」代表空集合、 : : 表示「從邏輯定理而來」；述詞邏輯的推導證明，用前提號碼來標示： : : 結論「純」由前提而來，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。 : : 以上，謝謝。 : : 參考資料： : : http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟堯講義) --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.118.67 參考資料、林正弘《邏輯》，只跟I推論有關。 兩者有何不同？如果都指呢，給出的證明會不一樣嗎？ 如何改？ 「哥德爾的不完備性是對一階邏輯也成立的」為何；兩者有何不同？ ※ 編輯: susophist 來自: 180.176.200.225 (12/22 06:26)