很抱歉，不是很懂您回的内容，感觉有些其他的问题在里面，似乎可以写得更清楚或聚焦 些；我试着整理看看：根据「完构语句」(wff, well form formular)的规则，从「公理句 式」(axiom schema)可以得到「公理」(axiom)，只要，该公理句式是「逻辑真」的语句， 也就是，无须前提即可自我证明/推导的语句；而(2):"for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy"，虽少写了「述词量词」('for all F')、不成「完构语句」，但由於它 的个例们可来自「公理句式」，所以仍是个「公理」，「Fx」用「x=a」代入，是其中的一 个个例。 你说他简化而不提「axiom schema 和 axiom」的分别，用「大家都直接抓到重点」的(2) 来证明，似乎有失逻辑或数学的「严谨性」；然而，至此，我不太认为他有「简化」的意 思。 我的意见为，参考所上老师的讲法，「等同项不可分辨律」(LL1: (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)])属二阶逻辑，述词量词「(F): for all F」是可用「=a」代入的，因为「等同 」也是一个「性质」(除非某人认为等同不是一个性质)，只不过，代入後，「Fx」便是个 「二位述词」(two-place predicate)，理由是，「x=a」有两个元项(instances/entities )，这是後话；莱布尼兹等同律(LL)是二阶逻辑句，二阶逻辑是「不完备的」，表示，并非 所有的二阶逻辑公理(或定理)都「必定有」逻辑的证明，所以用LL证明「a=b, therefore b=a」有疑虑，而，这也关连到要问您的问题：您说(2)、或(2)的「axiom」，是「公理的 句式」(schema)、或「公理句式」(axiom schema)，可以给(逻辑上的)证明吗，说某句子 是个公理(axiom/axiom schema)，一定可以给出「证明」吧。 其实，证明「a=b, therefore b=a」不必「莱布尼兹等同律(LL)」。先举个类似的证明： 1(1) Ha P1 2(2) a=b P2 1,2(3) Hb (1), (2) I(law of identity) Q.E.D. 同样地(I: law of identity)，证明「a=b, therefore b=a」： 1(1) a=b P. (2) a=a I 1(3) b=a (2), (1) I Q.E.D. 注：这是问过赵之振，认为可以的证明。 (参考资料：林正弘，《逻辑》，三民，页373-389、尤其381) ◎後记：感觉像是绕了一圈，原来证明这样地直接。 以上，谢谢。 ※ 引述《zoneline (人来人往)》之铭言： : 我说数龟提到的第二条 axiom : (2) for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy : 其实是axiom schema，因为这条里面的「Fx」和「Fy」其实可以代入任意性质， : 「F」是後设语言的符号。 : 先做个类比，你可能见过类似这个 wff 的定义： : (a) Every sentence symbol is a wff. : (b) If α and β are wffs, so are ~α, α&β, αvβ, α→β, α↔β. : (c) No express is a wff unless it is compelled to be one by (a) and (b). : （Enderton (2001). A Mathematical Introduction to Logic. p.16） : 「α」和「β」都不是语句逻辑的符号，而是後设语言的符号，可代入任何语句 : 逻辑里的符号。你可以用这三条规则来判断「P&~Q」是不是语句逻辑里的 wff ， : 但这三条规则并没有用到语句逻辑里的符号。 : 另一个例子是语句逻辑的 axiomatic proof 一般会包括的三条 axiom schemas ， : 以第一条为例， : (d) φ→(ψ→φ) : 当中的「φ」、「ψ」都不是语句逻辑的符号，因此「φ→(ψ→φ)」本身不是 : axiom ，(d) 在语句逻辑里也没有真假可言。不过，「φ」和「ψ」可以替换语 : 句逻辑的 wff ，例如可以换成「P→(Q→P)」、「P→((~QvQ)→P)」等语句逻辑 : 的 wff ，每个替换个例都会是 axiom ，所以才说 (d) 是 schema (架式) ， : 我们可以在推论的任意一行加入 axiom schema 的替换个例，因为我们可以在推 : 论中随时加入axiom。 : 回到数龟提的 (2) ，他在第3步用了这条 axiom schema 其实是把「Fx」这个後 : 设语言里的符号换成述词逻辑里的符号「x=a」。所以，你说他不是「逻辑上合法 : 的代入规则」，有一半是对的。对的部分是，(2)不是二阶逻辑的 wff ，没有全 : 称量词拘束性质「F」，它不是在一阶逻辑的系统内用全称例化从「Fx」换成「x=a」 : 。不对的部分是，(2)本来就不是系统内的 wff ，它是 schema ，虽然每个个例 : 都是 axiom，但是它本身不是 axiom。 : （BTW, 这一招 Saul Kripke 也常用，见 Vacuous Names and Fictional Entities, : in Philosophical Troulbes, p.55 ） : 最後我说他简化，是指他故意不提 axiom schema 和 axiom 和分别，因为，如果 : 提问的人连「a=b」和「b=a」的分别都看不出来，再提 schema 只会令对方更混乱 : ，反而用他写的(2)，大家都直接抓到重点，不是吗？ : 如果你看完还是不知道我在干嘛，那应该是我讲太糟，关於axiom schema，更好的 : 参考文献是： : Sider, Theodore (2009). Logic for Philosophy. : 第二章的axiomatic proof，或者 : Hunter, Geoffrey (1973). Metalogic, p.72. : 第二本很经典。 : 顺带两提 : 一、我没说「你说」他说自反性就是等同性。但是你第一段讲得他好像有这个暗示， : 我才强调一下，就跟你在第一段强调「自反性不是等同」一样。 : 二、莱布尼兹定律最早出现确是双向的，不过因为 identity of indiscernibles 有 : 太多争议，而 indiscernibility of identicals 相较之下少很多争议，所以用现在 : 有不少书都会直接将後者叫做莱布尼兹定律。 : 例 Loux, Michael (1979). The Possible and the Actual. p.42. : ※ 引述《susophist (窄宅)》之铭言： : : 自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，虽然，「等同性」是自反性的一种， : : 另一个自反性的例子是：__是__的子集合。 : : 莱布尼兹等同律(LL)，包含有「等同性」的内容之外，多了，对事物「性质」的讨论， : : 莱布尼兹等同律是「二阶逻辑」，它对「性质」(述词, e.g. 'F')进行了量限： : : LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] : : 事实上它包含两个部分： : : (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同项之不可分辨律」，这是你用的公设(axiom)； : : (x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨项之等同律」。注：这在哲学界有争议 : : 您的证明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；这似乎，不是逻辑上合法的(代入)规则。 : : 若用LL证明，其步骤如下： : : 1(1) a=b P. premise : : 2(2) ┐(b=a) A. assumption : : (3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL. : : (4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入 : : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : : 1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前断律 : : 1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律 : : 1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交换律 : : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : : 1(10) b=a (9), (5) MP : : 1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 连言律 : : 1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)归谬法 Q.E.D. : : 注： : : 项式前面的号码('1'or'2'or'1,2')系「前提号码」，「空格」代表空集合、 : : 表示「从逻辑定理而来」；述词逻辑的推导证明，用前提号码来标示： : : 结论「纯」由前提而来，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。 : : 以上，谢谢。 : : 参考资料： : : http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟尧讲义) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.118.67 参考资料、林正弘《逻辑》，只跟I推论有关。 两者有何不同？如果都指呢，给出的证明会不一样吗？ 如何改？ 「哥德尔的不完备性是对一阶逻辑也成立的」为何；两者有何不同？ ※ 编辑: susophist 来自: 180.176.200.225 (12/22 06:26)