我說數龜提到的第二條 axiom (2) for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy 其實是axiom schema，因為這條裡面的「Fx」和「Fy」其實可以代入任意性質， 「F」是後設語言的符號。 先做個類比，你可能見過類似這個 wff 的定義： (a) Every sentence symbol is a wff. (b) If α and β are wffs, so are ~α, α&β, αvβ, α→β, α↔β. (c) No express is a wff unless it is compelled to be one by (a) and (b). （Enderton (2001). A Mathematical Introduction to Logic. p.16） 「α」和「β」都不是語句邏輯的符號，而是後設語言的符號，可代入任何語句 邏輯裡的符號。你可以用這三條規則來判斷「P&~Q」是不是語句邏輯裡的 wff ， 但這三條規則並沒有用到語句邏輯裡的符號。 另一個例子是語句邏輯的 axiomatic proof 一般會包括的三條 axiom schemas ， 以第一條為例， (d) φ→(ψ→φ) 當中的「φ」、「ψ」都不是語句邏輯的符號，因此「φ→(ψ→φ)」本身不是 axiom ，(d) 在語句邏輯裡也沒有真假可言。不過，「φ」和「ψ」可以替換語 句邏輯的 wff ，例如可以換成「P→(Q→P)」、「P→((~QvQ)→P)」等語句邏輯 的 wff ，每個替換個例都會是 axiom ，所以才說 (d) 是 schema (架式) ， 我們可以在推論的任意一行加入 axiom schema 的替換個例，因為我們可以在推 論中隨時加入axiom。 回到數龜提的 (2) ，他在第3步用了這條 axiom schema 其實是把「Fx」這個後 設語言裡的符號換成述詞邏輯裡的符號「x=a」。所以，你說他不是「邏輯上合法 的代入規則」，有一半是對的。對的部分是，(2)不是二階邏輯的 wff ，沒有全 稱量詞拘束性質「F」，它不是在一階邏輯的系統內用全稱例化從「Fx」換成「x=a」 。不對的部分是，(2)本來就不是系統內的 wff ，它是 schema ，雖然每個個例 都是 axiom，但是它本身不是 axiom。 （BTW, 這一招 Saul Kripke 也常用，見 Vacuous Names and Fictional Entities, in Philosophical Troulbes, p.55 ） 最後我說他簡化，是指他故意不提 axiom schema 和 axiom 和分別，因為，如果 提問的人連「a=b」和「b=a」的分別都看不出來，再提 schema 只會令對方更混亂 ，反而用他寫的(2)，大家都直接抓到重點，不是嗎？ 如果你看完還是不知道我在幹嘛，那應該是我講太糟，關於axiom schema，更好的 參考文獻是： Sider, Theodore (2009). Logic for Philosophy. 第二章的axiomatic proof，或者 Hunter, Geoffrey (1973). Metalogic, p.72. 第二本很經典。 順帶兩提 一、我沒說「你說」他說自反性就是等同性。但是你第一段講得他好像有這個暗示， 我才強調一下，就跟你在第一段強調「自反性不是等同」一樣。 二、萊布尼茲定律最早出現確是雙向的，不過因為 identity of indiscernibles 有 太多爭議，而 indiscernibility of identicals 相較之下少很多爭議，所以用現在 有不少書都會直接將後者叫做萊布尼茲定律。 例 Loux, Michael (1979). The Possible and the Actual. p.42. ※ 引述《susophist (窄宅)》之銘言： : ※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言： : : 嗯, a=b 和 b=a 的確不同, 一個是 'a' 在前面, 一個是'b'在前面。 : : 在一般的述詞邏輯裡面, 如果有 '=' 這個述詞, 通常給的 axioms 只有下面兩條: : : (1) for all x, x=x : : (2) for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy : : 也就是只有 reflexivity 和 Leibniz's Law, 並不包含 a=b和b=a要等價。 : : 至於證明的話, 就是要從 (1)和 (2) 推出 a=b, therefore b=a : : 1. a=b Ass. : : 2. a=a (1) UI : : 3. if a=b then a=a iff b=a (2) UI : : 4. a=a iff b=a 1, 3 MP : : 5. if a=a then b=a 4 'iff' : : 6. b=a 2, 5. MP : 自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，雖然，「等同性」是自反性的一種， : 另一個自反性的例子是：__是__的子集合。 : 萊布尼茲等同律(LL)，包含有「等同性」的內容之外，多了，對事物「性質」的討論， : 萊布尼茲等同律是「二階邏輯」，它對「性質」(述詞, e.g. 'F')進行了量限： : LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] : 事實上它包含兩個部分： : (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同項之不可分辨律」，這是你用的公設(axiom)； : (x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨項之等同律」。註：這在哲學界有爭議 : 您的證明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；這似乎，不是邏輯上合法的(代入)規則。 : 若用LL證明，其步驟如下： : 1(1) a=b P. premise : 2(2) ┐(b=a) A. assumption : (3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL. : (4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入 : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : 1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前斷律 : 1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律 : 1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交換律 : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : 1(10) b=a (9), (5) MP : 1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 連言律 : 1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)歸謬法 Q.E.D. : 註： : 項式前面的號碼('1'or'2'or'1,2')係「前提號碼」，「空格」代表空集合、 : 表示「從邏輯定理而來」；述詞邏輯的推導證明，用前提號碼來標示： : 結論「純」由前提而來，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。 : 以上，謝謝。 : 參考資料： : http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟堯講義) --

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