我说数龟提到的第二条 axiom (2) for all x, for all y, if x=y, then Fx iff Fy 其实是axiom schema，因为这条里面的「Fx」和「Fy」其实可以代入任意性质， 「F」是後设语言的符号。 先做个类比，你可能见过类似这个 wff 的定义： (a) Every sentence symbol is a wff. (b) If α and β are wffs, so are ~α, α&β, αvβ, α→β, α↔β. (c) No express is a wff unless it is compelled to be one by (a) and (b). （Enderton (2001). A Mathematical Introduction to Logic. p.16） 「α」和「β」都不是语句逻辑的符号，而是後设语言的符号，可代入任何语句 逻辑里的符号。你可以用这三条规则来判断「P&~Q」是不是语句逻辑里的 wff ， 但这三条规则并没有用到语句逻辑里的符号。 另一个例子是语句逻辑的 axiomatic proof 一般会包括的三条 axiom schemas ， 以第一条为例， (d) φ→(ψ→φ) 当中的「φ」、「ψ」都不是语句逻辑的符号，因此「φ→(ψ→φ)」本身不是 axiom ，(d) 在语句逻辑里也没有真假可言。不过，「φ」和「ψ」可以替换语 句逻辑的 wff ，例如可以换成「P→(Q→P)」、「P→((~QvQ)→P)」等语句逻辑 的 wff ，每个替换个例都会是 axiom ，所以才说 (d) 是 schema (架式) ， 我们可以在推论的任意一行加入 axiom schema 的替换个例，因为我们可以在推 论中随时加入axiom。 回到数龟提的 (2) ，他在第3步用了这条 axiom schema 其实是把「Fx」这个後 设语言里的符号换成述词逻辑里的符号「x=a」。所以，你说他不是「逻辑上合法 的代入规则」，有一半是对的。对的部分是，(2)不是二阶逻辑的 wff ，没有全 称量词拘束性质「F」，它不是在一阶逻辑的系统内用全称例化从「Fx」换成「x=a」 。不对的部分是，(2)本来就不是系统内的 wff ，它是 schema ，虽然每个个例 都是 axiom，但是它本身不是 axiom。 （BTW, 这一招 Saul Kripke 也常用，见 Vacuous Names and Fictional Entities, in Philosophical Troulbes, p.55 ） 最後我说他简化，是指他故意不提 axiom schema 和 axiom 和分别，因为，如果 提问的人连「a=b」和「b=a」的分别都看不出来，再提 schema 只会令对方更混乱 ，反而用他写的(2)，大家都直接抓到重点，不是吗？ 如果你看完还是不知道我在干嘛，那应该是我讲太糟，关於axiom schema，更好的 参考文献是： Sider, Theodore (2009). Logic for Philosophy. 第二章的axiomatic proof，或者 Hunter, Geoffrey (1973). Metalogic, p.72. 第二本很经典。 顺带两提 一、我没说「你说」他说自反性就是等同性。但是你第一段讲得他好像有这个暗示， 我才强调一下，就跟你在第一段强调「自反性不是等同」一样。 二、莱布尼兹定律最早出现确是双向的，不过因为 identity of indiscernibles 有 太多争议，而 indiscernibility of identicals 相较之下少很多争议，所以用现在 有不少书都会直接将後者叫做莱布尼兹定律。 例 Loux, Michael (1979). The Possible and the Actual. p.42. ※ 引述《susophist (窄宅)》之铭言： : ※ 引述《MathTurtle (恩典)》之铭言： : : 嗯, a=b 和 b=a 的确不同, 一个是 'a' 在前面, 一个是'b'在前面。 : : 在一般的述词逻辑里面, 如果有 '=' 这个述词, 通常给的 axioms 只有下面两条: : : (1) for all x, x=x : : (2) for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy : : 也就是只有 reflexivity 和 Leibniz's Law, 并不包含 a=b和b=a要等价。 : : 至於证明的话, 就是要从 (1)和 (2) 推出 a=b, therefore b=a : : 1. a=b Ass. : : 2. a=a (1) UI : : 3. if a=b then a=a iff b=a (2) UI : : 4. a=a iff b=a 1, 3 MP : : 5. if a=a then b=a 4 'iff' : : 6. b=a 2, 5. MP : 自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，虽然，「等同性」是自反性的一种， : 另一个自反性的例子是：__是__的子集合。 : 莱布尼兹等同律(LL)，包含有「等同性」的内容之外，多了，对事物「性质」的讨论， : 莱布尼兹等同律是「二阶逻辑」，它对「性质」(述词, e.g. 'F')进行了量限： : LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] : 事实上它包含两个部分： : (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同项之不可分辨律」，这是你用的公设(axiom)； : (x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨项之等同律」。注：这在哲学界有争议 : 您的证明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；这似乎，不是逻辑上合法的(代入)规则。 : 若用LL证明，其步骤如下： : 1(1) a=b P. premise : 2(2) ┐(b=a) A. assumption : (3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL. : (4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入 : (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G : 1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前断律 : 1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律 : 1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交换律 : 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent : 1(10) b=a (9), (5) MP : 1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 连言律 : 1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)归谬法 Q.E.D. : 注： : 项式前面的号码('1'or'2'or'1,2')系「前提号码」，「空格」代表空集合、 : 表示「从逻辑定理而来」；述词逻辑的推导证明，用前提号码来标示： : 结论「纯」由前提而来，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。 : 以上，谢谢。 : 参考资料： : http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟尧讲义) --

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