※ 引述《oldfood (老食物)》之銘言： : 鬼斗大大 : 我自己假設了兩個人甲乙 兩種顏色帽子黑白的情況 : 我還是不明白有甚麼方法可以讓 甲或是乙其中一人一定會猜中自己帽子的顏色 : (顏色可以重複代表，代表可以是黑黑/黑白/白黑/白白，這幾種情況吧) : 請指教 那就先這樣假設好了 假設甲和乙都是熱血份子 在衝動之下就下定主意了 甲：我都猜黑 乙：我都猜白 這樣的話 按每一種情況分析會是這個樣子 甲 乙 結果 實際帽子 黑 黑 甲猜中 黑 白 miss 白 黑 都猜中 白 白 乙猜中 結果還是有機會不行 那是因為甲乙兩人都沒有認真擬訂戰略 事實上 甲的猜測可以有四種：黑、白、和乙的一樣、和乙的不一樣 乙也一樣有四種 總共16種組合 你應該可以試出可以達成條件的組合 但是這樣要試到什麼時候？ 所以需要下面這些較為廣義的分析 : ※ 引述《KAOKAOKAO (鬼斗)》之銘言： : : 那麼就可以開始了 : : 首先每個人會看到自己以外的n-1頂帽子 這個case n=2 假設黑=1 白=0 甲=0 乙=1 : : 將這n-1頂帽子的編碼做總和之後，取n的模數，得到一個介於0到n-1的數字a : : 然後 : : 每個人要猜測的帽色就是 : : {(自己的編碼) -(a) +(n)} 取n的模數 : : 這樣必然恰有一人猜中 甲 乙 黑 黑 這個時候 甲會猜 (0-1+2) mod 2 = 1 猜中 乙會猜 (1-1+2) mod 2 = 0 猜不中 黑 白 這個時候 甲會猜 (0-0+2) mod 2 = 0 猜不中 乙會猜 (1-1+2) mod 2 = 0 猜中 白 黑 這個時候 甲會猜 (0-1+2) mod 2 = 1 猜不中 乙會猜 (1-0+2) mod 2 = 1 猜中 白 白 這個時候 甲會猜 (0-0+2) mod 2 = 0 猜中 乙會猜 (1-0+2) mod 2 = 1 猜不中 : : 證明： : : 定義1 在任何編排好的情況下，帽子編碼總和為定值。令之為S。 : : 定理1 S取模數必定介於0到n-1之間 : : 引理1 S取模數之結果必定等於某一人之編號，令此人編號為P。 : : 每個人經過觀察之後，可以發現其他人的帽色，並可據此得出a。 : : a代表的即是 (S - 自己帽色)， : : 而這個數字取模數的結果和(P - 自己帽色)取模數結果相同。 : : 因此可列式： : : (P - a) mod n = 自己帽色 : : ※計算中為P-a+n乃為了避免負數結果，但定義上即使省略亦不失正確性。 : : 原PO可以自己設想n = 2的情況(樣本為四，而每人的猜測為對方帽子的函數) : : (廣義而言，可說每人會觀察到的可能情況為(n)^(n-1)種， : : 該人的猜測為這些案例的函數) : : 如有誤請指正 謝謝 你可以自己想想看 為什麼有這樣的安排 對於n種帽子分配給n個人的情況 總共有n^n的情形 也就是說 如果可以在每個n^(n-1)種情況恰有一人猜中 那麼就可以保證每種情況都恰有一人猜的中 --

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