※ 引述《oldfood (老食物)》之铭言： : 鬼斗大大 : 我自己假设了两个人甲乙 两种颜色帽子黑白的情况 : 我还是不明白有甚麽方法可以让 甲或是乙其中一人一定会猜中自己帽子的颜色 : (颜色可以重复代表，代表可以是黑黑/黑白/白黑/白白，这几种情况吧) : 请指教 那就先这样假设好了 假设甲和乙都是热血份子 在冲动之下就下定主意了 甲：我都猜黑 乙：我都猜白 这样的话 按每一种情况分析会是这个样子 甲 乙 结果 实际帽子 黑 黑 甲猜中 黑 白 miss 白 黑 都猜中 白 白 乙猜中 结果还是有机会不行 那是因为甲乙两人都没有认真拟订战略 事实上 甲的猜测可以有四种：黑、白、和乙的一样、和乙的不一样 乙也一样有四种 总共16种组合 你应该可以试出可以达成条件的组合 但是这样要试到什麽时候？ 所以需要下面这些较为广义的分析 : ※ 引述《KAOKAOKAO (鬼斗)》之铭言： : : 那麽就可以开始了 : : 首先每个人会看到自己以外的n-1顶帽子 这个case n=2 假设黑=1 白=0 甲=0 乙=1 : : 将这n-1顶帽子的编码做总和之後，取n的模数，得到一个介於0到n-1的数字a : : 然後 : : 每个人要猜测的帽色就是 : : {(自己的编码) -(a) +(n)} 取n的模数 : : 这样必然恰有一人猜中 甲 乙 黑 黑 这个时候 甲会猜 (0-1+2) mod 2 = 1 猜中 乙会猜 (1-1+2) mod 2 = 0 猜不中 黑 白 这个时候 甲会猜 (0-0+2) mod 2 = 0 猜不中 乙会猜 (1-1+2) mod 2 = 0 猜中 白 黑 这个时候 甲会猜 (0-1+2) mod 2 = 1 猜不中 乙会猜 (1-0+2) mod 2 = 1 猜中 白 白 这个时候 甲会猜 (0-0+2) mod 2 = 0 猜中 乙会猜 (1-0+2) mod 2 = 1 猜不中 : : 证明： : : 定义1 在任何编排好的情况下，帽子编码总和为定值。令之为S。 : : 定理1 S取模数必定介於0到n-1之间 : : 引理1 S取模数之结果必定等於某一人之编号，令此人编号为P。 : : 每个人经过观察之後，可以发现其他人的帽色，并可据此得出a。 : : a代表的即是 (S - 自己帽色)， : : 而这个数字取模数的结果和(P - 自己帽色)取模数结果相同。 : : 因此可列式： : : (P - a) mod n = 自己帽色 : : ※计算中为P-a+n乃为了避免负数结果，但定义上即使省略亦不失正确性。 : : 原PO可以自己设想n = 2的情况(样本为四，而每人的猜测为对方帽子的函数) : : (广义而言，可说每人会观察到的可能情况为(n)^(n-1)种， : : 该人的猜测为这些案例的函数) : : 如有误请指正 谢谢 你可以自己想想看 为什麽有这样的安排 对於n种帽子分配给n个人的情况 总共有n^n的情形 也就是说 如果可以在每个n^(n-1)种情况恰有一人猜中 那麽就可以保证每种情况都恰有一人猜的中 --

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