※ [本文轉錄自 Math 看板] 作者: hectorhsu (The Hector) 看板: Math 標題: [機統] 常見三門/男女開門問題正解 時間: Wed Mar 17 19:25:54 2010 本篇不回應、不刪除 如果您覺得不服氣 那不關我的事情 我只是提供正確的東西給後人 順便騙點p幣罷了 網路太容易誤導人! 去google梭哈牌型的機率 前兩頁沒有一個是對的 這不是很可怕的事情嗎? 而你在數學板上看到一堆亂七八糟振振有詞的言論 不要以為講話大聲就有理 看看那推文和討論 數學板最令人失望的地方就是"不願意看別人的文章"+"自顧自地講" 比起來 誠心誠意在板上提問的板友們真的就很可愛 文人相輕 自古皆然 ------------ 一 --------------- 男女開門問題: 已知你朋友有兩個小孩 請問下列各情況下 兩個都是女兒的機率 (1) 已知至少有一個是女兒 => 1/3 (2) 開門迎接你的是他的一個女兒 => 1/2 (3) 有一個女兒叫做 Tina => 1/2 (4) 進去發現一個女兒坐在沙發上看電視 => 1/2 簡單說 (2)(3)(4) 都是有一個女孩且那個女孩"可識別" 所以另一個就是1/2 (1) 的話 就是 P(兩個都是女兒|至少一個是女兒) = P(兩個都是女兒 且 至少一個是女兒) ------------------------------------------- P(至少一個是女兒) = P(兩個都是女兒) = 1/4 = 1/3 ---------------------- ------- P(至少一個是女兒) 3/4 可參考醉漢走路一書 這本書有趣 內容也大都嚴謹正確 ------------- 二 --------------- 原題： 參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就 可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人是知道哪一扇門後面有汽 車。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中 的一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題 是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是均勻隨機的。（假設設置時 汽車在每一扇門後面的機率均等，且若參賽者一開始就選到汽車，主持人打開剩下兩扇門 的機率均等。） 變形題目： 參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就 可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人不知道哪一扇門後面有汽 車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其 中一扇（因為不知道哪一扇後面有汽車，故主持人機會均等地打開兩扇門的其中一扇）， 結果露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。 問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設 設置時汽車在每一扇門後面的機率均等) ---------------- 參考資料： http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf by Toronto大學統計教授 這位教授的paper意思是說, 假設編號門 1,2,3 令事件 A = 車在門 1 後面 B = 車在門 2 後面 C = 車在門 3 後面 D = 主持人打開門 3 且假設 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 Proportional Principle 是說 P(A|D) = P(A&D)/P(D) P(B|D) = P(B&D)/P(D) P(C|D) = P(C&D)/P(D) 又 P(D|A) = P(A&D)/P(A) P(D|B) = P(B&D)/P(B) P(D|C) = P(C&D)/P(C) 所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C) 這是一條非直觀公式 但是正確且好用 ----------- 原題 WLOG 當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 基於"主持人隨機開二羊之一"的假設 P(D|B) = 1 必須開3因為2是車 P(D|C) = 0 不可以開到車 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0 normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0 故換了會中的機率是 2/3 ----------- 變形題目 WLOG 當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 因為1/2亂開 且不會是車 P(D|B) = 1/2 因為他是亂開 且3也沒車 P(D|C) = 0 不可以開到車 與"開出來是羊" 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0 故換了會中的機率是 1/2 若不知道主持人知不知道? 則 [1] 若主持人知道 換有利 [2] 若不知道 沒差(其實就是對賭) 以上做法為這個"大家都各自用自己的直覺寫上機率計算"的題目 給出了嚴謹的作法 我相信我們使用的文字語言已經相當完整 必須記得:若原題目中沒有明確說明如何開門及放置汽車的規則 那就可視為一個缺乏條件的命題 在嚴密定義每個機率均為均勻下可以如茲計算 無任何模糊地帶 請勿再推給文法 -- 如果沒有末班車， 我們就數著花瓣去旅行。 --

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