※ [本文转录自 Math 看板] 作者: hectorhsu (The Hector) 看板: Math 标题: [机统] 常见三门/男女开门问题正解 时间: Wed Mar 17 19:25:54 2010 本篇不回应、不删除 如果您觉得不服气 那不关我的事情 我只是提供正确的东西给後人 顺便骗点p币罢了 网路太容易误导人! 去google梭哈牌型的机率 前两页没有一个是对的 这不是很可怕的事情吗? 而你在数学板上看到一堆乱七八糟振振有词的言论 不要以为讲话大声就有理 看看那推文和讨论 数学板最令人失望的地方就是"不愿意看别人的文章"+"自顾自地讲" 比起来 诚心诚意在板上提问的板友们真的就很可爱 文人相轻 自古皆然 ------------ 一 --------------- 男女开门问题: 已知你朋友有两个小孩 请问下列各情况下 两个都是女儿的机率 (1) 已知至少有一个是女儿 => 1/3 (2) 开门迎接你的是他的一个女儿 => 1/2 (3) 有一个女儿叫做 Tina => 1/2 (4) 进去发现一个女儿坐在沙发上看电视 => 1/2 简单说 (2)(3)(4) 都是有一个女孩且那个女孩"可识别" 所以另一个就是1/2 (1) 的话 就是 P(两个都是女儿|至少一个是女儿) = P(两个都是女儿 且 至少一个是女儿) ------------------------------------------- P(至少一个是女儿) = P(两个都是女儿) = 1/4 = 1/3 ---------------------- ------- P(至少一个是女儿) 3/4 可参考醉汉走路一书 这本书有趣 内容也大都严谨正确 ------------- 二 --------------- 原题： 参赛者看见三扇关闭了的门，其中一扇的後面有一辆汽车，选中後面有车的那扇门就 可以赢得该汽车，而另外两扇门後面则各藏有一只山羊，主持人是知道哪一扇门後面有汽 车。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中 的一扇，露出其中一只山羊。主持人其後会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题 是：换另一扇参赛者赢得汽车的机率？没特别说明的条件都是均匀随机的。（假设设置时 汽车在每一扇门後面的机率均等，且若参赛者一开始就选到汽车，主持人打开剩下两扇门 的机率均等。） 变形题目： 参赛者看见三扇关闭了的门，其中一扇的後面有一辆汽车，选中後面有车的那扇门就 可以赢得该汽车，而另外两扇门後面则各藏有一只山羊，主持人不知道哪一扇门後面有汽 车的。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其 中一扇（因为不知道哪一扇後面有汽车，故主持人机会均等地打开两扇门的其中一扇）， 结果露出其中一只山羊。主持人其後会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 问题是：换另一扇参赛者赢得汽车的机率？没特别说明的条件都是随机的。（亦即假设 设置时汽车在每一扇门後面的机率均等) ---------------- 参考资料： http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf by Toronto大学统计教授 这位教授的paper意思是说, 假设编号门 1,2,3 令事件 A = 车在门 1 後面 B = 车在门 2 後面 C = 车在门 3 後面 D = 主持人打开门 3 且假设 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 Proportional Principle 是说 P(A|D) = P(A&D)/P(D) P(B|D) = P(B&D)/P(D) P(C|D) = P(C&D)/P(D) 又 P(D|A) = P(A&D)/P(A) P(D|B) = P(B&D)/P(B) P(D|C) = P(C&D)/P(C) 所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C) 这是一条非直观公式 但是正确且好用 ----------- 原题 WLOG 当你选门1 主持人开门3 P(D|A) = 1/2 基於"主持人随机开二羊之一"的假设 P(D|B) = 1 必须开3因为2是车 P(D|C) = 0 不可以开到车 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0 normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0 故换了会中的机率是 2/3 ----------- 变形题目 WLOG 当你选门1 主持人开门3 P(D|A) = 1/2 因为1/2乱开 且不会是车 P(D|B) = 1/2 因为他是乱开 且3也没车 P(D|C) = 0 不可以开到车 与"开出来是羊" 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0 故换了会中的机率是 1/2 若不知道主持人知不知道? 则 [1] 若主持人知道 换有利 [2] 若不知道 没差(其实就是对赌) 以上做法为这个"大家都各自用自己的直觉写上机率计算"的题目 给出了严谨的作法 我相信我们使用的文字语言已经相当完整 必须记得:若原题目中没有明确说明如何开门及放置汽车的规则 那就可视为一个缺乏条件的命题 在严密定义每个机率均为均匀下可以如兹计算 无任何模糊地带 请勿再推给文法 -- 如果没有末班车， 我们就数着花瓣去旅行。 --

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