作者Hseuler (藍色貍貓)
看板logic
標題Re: [請益] 一個論證的有效性
時間Thu Mar 4 22:44:51 2010
: 另外，第一篇回應裡有提到2+2=4是不是恒真，
: 我個人認為是「數學上恒真」，而非「邏輯上恒真」
: 「邏輯上恒真」應該是像這種語句：
: 「耶穌要嘛是人，要嘛不是人。」
那完全要看你的邏輯系統而定
幾乎所有數學都可以歸約為邏輯
羅素和Whitehead在《數學原理》是一個重要的里程碑
而現代做自動證明的也在玩這套
如果你的邏輯系統是可判定(例如實數的一階理論)
或半可判定的話
例如一階邏輯
還可以讓電腦自動判斷哪些語句是真的
或暴搜 找有限模型下的反例
下面用一階算術邏輯系統證明康德最喜歡的7+5=12
要是沒記錯 康德宣稱7+5=12是不可證明的
但是下面就偏要證明7+5=12
在這邏輯系統中 7+5=12就是邏輯上真的。
引入兩個axiom
ax1. (x)(x+0=x)
ax2. (x)(y)(x+y'=(x+y)')
'是後繼元素
現在證明|-7+5=12
1.|-7+0'''''=(7+0'''')'
2.|-7+0''''=(7+0''')'
3.|-7+0'''''=(7+0''')''
4.|-7+0'''=(7+0'')'
5.|-7+0'''''=(7+0'')'''
6.|-7+0''=(7+0')'
7.|-7+0'''''=(7+0')''''
8.|-7+0'=(7+0)'
9.|-7+0'''''=(7+0)'''''
10.|-7+0=7
11.|-7+0'''''=7'''''
可見在這個邏輯系統中7+5是一定真的。
要看古早一點的
就是羅素的數學原理
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Principia_Mathematica_theorem_54-43.png
證明1+1=2
這是第379頁的命題
如果我們把整個皮亞諾算術引進去
許多的數學語句也是真的。例如：
|-(x)(y)(z)(x+(y+z)=(x+y)+z)
另外
如果你今天要討論群論
我也可以把群論公理引進來
那麼一些群論的定理在這個一階群論邏輯系統就是真的。
如果你要討論初等幾何
也可以把初等幾何的推理系統引進來
Tarski甚至證明初等幾何是可判定的
當然有些數學定理 在我剛剛說的純粹邏輯+PA系統
可以真也可以假
例如我們可以用模型論的方法
證明3n+1猜想、哥德巴赫猜想不能純粹由只包含PA的邏輯系統證明
這時候你可以找比PA更強的系統
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.169.225.44
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.225.44 (03/04 22:59)
1F：推 ivanos:請問數學的公理為何恆真？ 03/05 05:30
看你要不要讓公理加進邏輯系統啊
像一般的命題邏輯系統
你不爽也可以砍掉三個公理中的一個
AX1 (φ-> (Ψ->φ) )
AX2 (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) )
AX3 ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) )
那就會有一些語句你証不出來了
我同樣也可以反問你為什麼你要讓這些邏輯公理恆真.
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.224.10 (03/05 09:20)
2F：推 ivanos:講那麼多你的意思就是說數學的恆真就是邏輯的恆真？ 03/06 04:54
數學上的真全部可以歸約成邏輯上的真
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.224.10 (03/06 09:16)
3F：推 yauhh:是說數學證明過了,於是在邏輯直接拿來做公理使用? 03/06 10:47
4F：→ aletheia:你們可以另外開一篇討論 Logicism 03/06 11:59