: 另外，第一篇回应里有提到2+2=4是不是恒真， : 我个人认为是「数学上恒真」，而非「逻辑上恒真」 : 「逻辑上恒真」应该是像这种语句： : 「耶稣要嘛是人，要嘛不是人。」 那完全要看你的逻辑系统而定 几乎所有数学都可以归约为逻辑 罗素和Whitehead在《数学原理》是一个重要的里程碑 而现代做自动证明的也在玩这套 如果你的逻辑系统是可判定(例如实数的一阶理论) 或半可判定的话 例如一阶逻辑 还可以让电脑自动判断哪些语句是真的 或暴搜 找有限模型下的反例 下面用一阶算术逻辑系统证明康德最喜欢的7+5=12 要是没记错 康德宣称7+5=12是不可证明的 但是下面就偏要证明7+5=12 在这逻辑系统中 7+5=12就是逻辑上真的。 引入两个axiom ax1. (x)(x+0=x) ax2. (x)(y)(x+y'=(x+y)') '是後继元素 现在证明|-7+5=12 1.|-7+0'''''=(7+0'''')' 2.|-7+0''''=(7+0''')' 3.|-7+0'''''=(7+0''')'' 4.|-7+0'''=(7+0'')' 5.|-7+0'''''=(7+0'')''' 6.|-7+0''=(7+0')' 7.|-7+0'''''=(7+0')'''' 8.|-7+0'=(7+0)' 9.|-7+0'''''=(7+0)''''' 10.|-7+0=7 11.|-7+0'''''=7''''' 可见在这个逻辑系统中7+5是一定真的。 要看古早一点的 就是罗素的数学原理 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Principia_Mathematica_theorem_54-43.png 证明1+1=2 这是第379页的命题 如果我们把整个皮亚诺算术引进去 许多的数学语句也是真的。例如： |-(x)(y)(z)(x+(y+z)=(x+y)+z) 另外 如果你今天要讨论群论 我也可以把群论公理引进来 那麽一些群论的定理在这个一阶群论逻辑系统就是真的。 如果你要讨论初等几何 也可以把初等几何的推理系统引进来 Tarski甚至证明初等几何是可判定的 当然有些数学定理 在我刚刚说的纯粹逻辑+PA系统 可以真也可以假 例如我们可以用模型论的方法 证明3n+1猜想、哥德巴赫猜想不能纯粹由只包含PA的逻辑系统证明 这时候你可以找比PA更强的系统 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.225.44 ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.225.44 (03/04 22:59) 看你要不要让公理加进逻辑系统啊 像一般的命题逻辑系统 你不爽也可以砍掉三个公理中的一个 AX1 (φ-> (Ψ->φ) ) AX2 (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) ) AX3 ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) ) 那就会有一些语句你证不出来了 我同样也可以反问你为什麽你要让这些逻辑公理恒真. ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.224.10 (03/05 09:20) 数学上的真全部可以归约成逻辑上的真 ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.224.10 (03/06 09:16)