作者coolbetter33 (香港3345678)
看板logic
標題Re: [請益] 該如何理解語句邏輯的公理?
時間Mon Sep 7 18:09:24 2009
※ 引述《Jer1983 (stanley)》之銘言：
: 最近看到 sentential logic 的公理, 有提到以下三個公理
: (1) (φ-> (Ψ->φ) )
: (2) (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) )
: (3) ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) )
: 其中 φ,Ψ,θ 可以代入任何的語句
: 我好奇的是該怎麼用"白話"理解這三個公理? 謝謝 ∩∪ ≡
我覺得13比較簡單,2稍微麻煩,所以我講的順序是1->3->2
我不想舉一堆例子來講我的答案,畢竟是個special case,我想講的是用
"邏輯代數來講解" 的general case
首先你要了解 P->Q ≡ ~P ∪ Q ---------------------------------I
[這裡~的符號優先於 ∩∪,相當於四則運算中先乘除再加減]
proof:
P Q P->Q ~P∪Q
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T Q.E.D
再來你要了解Demove`s定律 ~(~P∩~Q) ≡ P ∪ Q -------------------II
那麼接下來就可以開始了
(1) (φ-> (Ψ->φ) ) ≡ ~φ∪(~Ψ∪φ) ≡ ~φ∪~Ψ∪φ ≡ True
這裡不管Ψ如何,φ跟~φ其中一必滿足.
(3) ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) ) ≡~(φ∪~Ψ)∪(~Ψ∪φ)
≡ (~φ∩Ψ)∪(~Ψ∪φ) ≡ True
這裡去掉 [Ψ = true 且 φ = false]但是帶入 (~φ∩Ψ)
得到true跟true交集還是true
(2) (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) )
≡ ~(~φ∪(~Ψ∪θ))∪(~(~φ∪Ψ)∪(~φ∪θ))
≡ (φ∩Ψ∩~θ)∪((φ∩~Ψ)∪~φ∪θ)
≡ (φ∩Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ ≡ True
這裡去掉 θ = T ,φ = F ,還有 [θ ,φ ,Ψ] = [F,T,T]跟[F,T,F]兩個
將 [θ ,φ ,Ψ] = [F,T,T]帶入 (φ∩Ψ∩~θ) 為 T
[θ ,φ ,Ψ] = [F,T,F]帶入 (φ∩~Ψ) 為 T
*************************************************************************
以下為個人對(2)的推廣與化簡
(φ∩Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ
≡ (Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ -------------------------------III
≡ True
≡ (Ψ->θ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ)) 似乎更加簡潔~~
老實說我覺得這些保證 "True"的邏輯式,好比以上的(1)(2)(3),不用太把它看成
某個定律或定理,不過就是幾個基本觀念的運用,前人找到某個很漂亮的邏輯式
提出來發表罷了
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◆ From: 114.45.160.136
1F：推 Hseuler:重要是他的完備性,另外hilbert和羅素的數學原理選的axiom 09/07 20:13
2F：→ Hseuler:我得有差 09/07 20:13
3F：推 Hseuler: 記 09/07 20:22
4F：推 Jer1983:請問可以講清楚一點所謂的完備性嗎? 09/10 17:10
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