作者coolbetter33 (香港3345678)
看板logic
标题Re: [请益] 该如何理解语句逻辑的公理?
时间Mon Sep 7 18:09:24 2009
※ 引述《Jer1983 (stanley)》之铭言：
: 最近看到 sentential logic 的公理, 有提到以下三个公理
: (1) (φ-> (Ψ->φ) )
: (2) (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) )
: (3) ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) )
: 其中 φ,Ψ,θ 可以代入任何的语句
: 我好奇的是该怎麽用"白话"理解这三个公理? 谢谢 ∩∪ ≡
我觉得13比较简单,2稍微麻烦,所以我讲的顺序是1->3->2
我不想举一堆例子来讲我的答案,毕竟是个special case,我想讲的是用
"逻辑代数来讲解" 的general case
首先你要了解 P->Q ≡ ~P ∪ Q ---------------------------------I
[这里~的符号优先於 ∩∪,相当於四则运算中先乘除再加减]
proof:
P Q P->Q ~P∪Q
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T Q.E.D
再来你要了解Demove`s定律 ~(~P∩~Q) ≡ P ∪ Q -------------------II
那麽接下来就可以开始了
(1) (φ-> (Ψ->φ) ) ≡ ~φ∪(~Ψ∪φ) ≡ ~φ∪~Ψ∪φ ≡ True
这里不管Ψ如何,φ跟~φ其中一必满足.
(3) ( (┐φ-> ┐Ψ)-> (Ψ->φ) ) ≡~(φ∪~Ψ)∪(~Ψ∪φ)
≡ (~φ∩Ψ)∪(~Ψ∪φ) ≡ True
这里去掉 [Ψ = true 且 φ = false]但是带入 (~φ∩Ψ)
得到true跟true交集还是true
(2) (φ-> (Ψ->θ) ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ) )
≡ ~(~φ∪(~Ψ∪θ))∪(~(~φ∪Ψ)∪(~φ∪θ))
≡ (φ∩Ψ∩~θ)∪((φ∩~Ψ)∪~φ∪θ)
≡ (φ∩Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ ≡ True
这里去掉 θ = T ,φ = F ,还有 [θ ,φ ,Ψ] = [F,T,T]跟[F,T,F]两个
将 [θ ,φ ,Ψ] = [F,T,T]带入 (φ∩Ψ∩~θ) 为 T
[θ ,φ ,Ψ] = [F,T,F]带入 (φ∩~Ψ) 为 T
*************************************************************************
以下为个人对(2)的推广与化简
(φ∩Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ
≡ (Ψ∩~θ)∪(φ∩~Ψ)∪~φ∪θ -------------------------------III
≡ True
≡ (Ψ->θ) -> ( (φ->Ψ)-> (φ->θ)) 似乎更加简洁~~
老实说我觉得这些保证 "True"的逻辑式,好比以上的(1)(2)(3),不用太把它看成
某个定律或定理,不过就是几个基本观念的运用,前人找到某个很漂亮的逻辑式
提出来发表罢了
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◆ From: 114.45.160.136
1F：推 Hseuler:重要是他的完备性,另外hilbert和罗素的数学原理选的axiom 09/07 20:13
2F：→ Hseuler:我得有差 09/07 20:13
3F：推 Hseuler: 记 09/07 20:22
4F：推 Jer1983:请问可以讲清楚一点所谓的完备性吗? 09/10 17:10
※ 编辑: coolbetter33 来自: 114.45.162.160 (09/10 18:56)
※ 编辑: coolbetter33 来自: 114.45.162.160 (09/10 20:08)
※ 编辑: coolbetter33 来自: 114.45.162.160 (09/10 20:34)