※ 引述《DarkAlex (Dark_Alex)》之銘言： : 有一個天平 : 然後有12個球 : 其中一顆重量不同 : 請問如何才能在三次內 : 找到那顆不同重的球 : 不知道有沒人知道的 : 感恩 從kkcity math版 擷取下來 參考看看 以下的解法應該是類似的： 題目：有12顆一模一樣的球，其中11顆一樣重， 第十二顆與其他11顆不一樣重，但不知較輕還是較重。 利用天平秤三次，把這個不一樣重的球找出來， 並確定它是較輕或較重。 ------------------------------------------------ 一般公式如下： 設有 n 個球 (n>2) 若 k 為滿足 3^(k-1) < 2n+3 <= 3^k 的正整數， 則秤 k 次即可 ------------------------------------------------ 解法一： 將十二顆球編號 ABCD EFGH IJKL 不論各次結果如何，如下三次秤，記其結果： (1) ABCD 與 EFGH 秤 (2) AEJL 與 BDFI 秤 (3) CGIL 與 ADEK 秤 推論方式如下： 一、假設三次均無等重情況出現： 將各式調整重者在左，輕者在右， 觀察左邊和右邊，三式有共同者即為答案。 例如：(1) ABCD > EFGH => ABCD > EFGH (2) AEJL > BDFI => AEJL > BDFI (3) CGIL < ADEK => ADEK > CGIL 則觀察左邊和右邊 三式均在同一邊的只有A，且在「大於」邊（左邊） 故答案是A較重 例如：(1) ABCD > EFGH => ABCD > EFGH (2) AEJL < BDFI => BDFI > AEJL (3) CGIL > ADEK => CGIL > ADEK 則觀察左邊和右邊 三式均在同一邊的只有E，且在「小於」邊（右邊） 故答案是E較輕 例如：(1) ABCD < EFGH => EFGH > ABCD (2) AEJL > BDFI => AEJL > BDFI (3) CGIL > ADEK => CGIL > ADEK 則觀察左邊和右邊 三式均在同一邊的只有D，且在「小於」邊（右邊） 故答案是D較輕 二、若三次中出現等於（平衡），則等於的兩邊八個必正常 將其他式扣掉正常的，剩下的同「一、」比較共同者 例如：(1) ABCD > EFGH => ABCD > EFGH (2) AEJL < BDFI => BDFI > AEJL (3) CGIL = ADEK 則將 (1)(2) 式扣掉 (3) 式 所有的 CIGLADEK (1) 式剩下 B > FH (2) 式剩下 BF > J 均在同一邊的只有B，且在「大於」邊（左邊） 故答案是B較重 例如：(1) ABCD < EFGH => EFGH > ABCD (2) AEJL = BDFI (3) CGIL = ADEK 則將 (1) 式扣掉 (2)(3) 式 所有的 AEJLBDFICGK (1) 式剩下 H > 故答案是H較重 例如：(1) ABCD < EFGH => EFGH > ABCD (2) AEJL = BDFI (3) CGIL < ADEK => ADEK > CGIL 則將 (1)(3) 式扣掉 (2) 式 所有的 AEJLBDFI (1) 式剩下 GH > C (2) 式剩下 K > CG 均在同一邊的只有C，且在「小於」邊（右邊） 故答案是C較輕 三、必不出現 >>> 或 === 或 <<< 此三種情況 可比較三式得知 (1) ABCD > EFGH AEJL > BDFI CGIL > ADEK 左邊（或右邊）無均在同一邊的代號 (2) ABCD = EFGH AEJL = BDFI CGIL = ADEK 此三式已包括所有12個代號，故不可能平衡 (3) ABCD < EFGH AEJL < BDFI CGIL < ADEK 同(1) 四、計算排列組合： 每一式均有 > , = , < 三種情況 故共有 3^3 = 27 種，扣除「三、」的 3 種 會有 24 種結果， 恰好表示 「A為重」、「A為輕」、 「B為重」、「B為輕」、...... 「L為重」、「L為輕」等的24種結果 -------------------------------------------------- 解法二：公式解： 將球編號成 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依照下面三次分法秤： (1) 1 3 5 7 對 2 4 6 8 (2) 1 6 8 11 對 2 7 9 10 (3) 2 3 8 12 對 5 6 9 11 三次結果分別依 < = > 紀錄，對照下面公式表 <<< 不可能 <<= 1輕 <<> 2重 <=< 3輕 <== 4重 <=> 5輕 <>< 6重 <>= 7輕 <>> 8重 =<< 9重 =<= 10重 =<> 11輕 ==< 12輕 === 不可能 ==> 12重 =>< 11重 =>= 10輕 =>> 9輕 ><< 8輕 ><= 7重 ><> 6輕 >=< 5重 >== 4輕 >=> 3重 >>< 2輕 >>= 1重 >>> 不可能 這是根據三進位對照及作部分調正而來。 --

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