我來補充一下好了。 ※ 引述《cmlrdg (心之語)》之銘言： : ※ 引述《Jer1983 (stanley)》之銘言： : : 各位好, 小弟最近在研讀Mendelson的introduction to mathematical logic. Mendelson這本是本經典的好書, 不過真的要讀完它也不是很容易, 加油 ^^ : : 目前看到第一章第四節, 在談formal axiomatic thoery L. : : 其中有一段說 If A,B and C are any wfs(well-formed formulas) of L, : : then the following are axioms of L: : : (A1) ( A => (B => A) ) : : (A2) ( (A => (B => C)) => ((A => B) => (A => C)) ) : : (A3) ( ((┐B) => (┐A)) => (((┐B) => A) => B) ) : : 實在不懂作者想表達的意思...這裡的axiom指的是公理嗎? 比方說實數系的公理那種? : ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ : 是的... : 簡單來說, 他的公理有A1, A2, 和A3三種型式 : 每一個型式都有(可數)無限多個邏輯句子. : 你可以發現若將上述的A, B, C看成Boolean variables, : 則A1, A2, A3都是tautologies, 因此被列為axioms. : 其他tautologies都可以藉由這些axioms透過inference rules(如modus ponens) : 來"證明." 用 tautology來說明axiom是什麼, 可以幫助理解, 不過還是必須小心: (1) tautology 本身並不是一個很清楚的概念 (except in something like TLP) 而且多半預設了 true in all models 之類的 semantic notions. (2) axioms 如你所言, 是透過infernece rules可以推導出這理論中的所有定理 的一些命題。這裡純粹是syntactic notions. (3) 為何設定 A1 A2 A3這三個命題為axiom, 嚴格說並不是因為它們是tautology, 而是因為這三條配合此系統的推論規則可以推導出所有的定理。 : 值得一提的是: : 這個系統探討的邏輯句子應該只有Boolean logic而已, : 跟real number system的axioms不太相同, : (real number system的某些axioms寫成Boolean型態並非tautologies, : 因此這些axioms更像是人規定的...XD) : 邏輯句子也不同, : 不過意義是一樣的. : (都是作為證明之前的基本事實...也就是規定是對的, 不需要證明) 應該這麼說, 一般設定實數系統包含了PA (Peano Arithmetics), 而PA又包含了述詞邏輯系統(predicate logic), 再包含了命題邏輯系統, 因此命題邏輯系統通常是被其它系統「預設」。 不過選哪些命題作為公理, 通常是看你的系統有哪些primitives, 然後選一些足夠推導出所有定理的最小集合為公理。 這其實沒有什麼原因, 像是自然演譯法中, 你可以完全沒有公理。 而這裡的這三條, 主要是因為這個系統把 material implication 與 negation 當成惟一的兩個primitives. 實數系統當然需要多一些公理, 畢竟它有更多的primitives, 像是大小就是最重要的一個要去characterise的東西。 我們不太能說實數系統的公理不是tautologies, 如果你tautology 指的是necessary truth的話, 實數系統裡的命題也都是necessary truth. 當然如果你的tautology指的是true in all models, 你當然可以construct 非實數系統的model使其公理為假, 但這似乎不是證明這些不是tautology。 : : 還有就是well-formed formulas, 請問版上有人可以用數學的例子說明嗎? : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 這個版上之前有人討論過, 你可以按z進入查一下 : 大致上來說, well-formed formulas是用recursive方式定義: : 1) Boolean variable (如p)是wff : 2) 若p和q都是wffs, 則 p and q, p or q, not p都是wffs : 上述所說是Boolean logic的wffs. : 因此像 (p and q) => p 是一個wff. : 希望有解決你的問題^^ : 各位板大有錯請指正<(_ _)> 如果要了解什麼是 wff, 或許也要舉個不是wff 的例子, 下面三個都不是: 1. p xxx q not 2. p q ( not 3. (p and q) and r) --

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