我来补充一下好了。 ※ 引述《cmlrdg (心之语)》之铭言： : ※ 引述《Jer1983 (stanley)》之铭言： : : 各位好, 小弟最近在研读Mendelson的introduction to mathematical logic. Mendelson这本是本经典的好书, 不过真的要读完它也不是很容易, 加油 ^^ : : 目前看到第一章第四节, 在谈formal axiomatic thoery L. : : 其中有一段说 If A,B and C are any wfs(well-formed formulas) of L, : : then the following are axioms of L: : : (A1) ( A => (B => A) ) : : (A2) ( (A => (B => C)) => ((A => B) => (A => C)) ) : : (A3) ( ((┐B) => (┐A)) => (((┐B) => A) => B) ) : : 实在不懂作者想表达的意思...这里的axiom指的是公理吗? 比方说实数系的公理那种? : ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ : 是的... : 简单来说, 他的公理有A1, A2, 和A3三种型式 : 每一个型式都有(可数)无限多个逻辑句子. : 你可以发现若将上述的A, B, C看成Boolean variables, : 则A1, A2, A3都是tautologies, 因此被列为axioms. : 其他tautologies都可以藉由这些axioms透过inference rules(如modus ponens) : 来"证明." 用 tautology来说明axiom是什麽, 可以帮助理解, 不过还是必须小心: (1) tautology 本身并不是一个很清楚的概念 (except in something like TLP) 而且多半预设了 true in all models 之类的 semantic notions. (2) axioms 如你所言, 是透过infernece rules可以推导出这理论中的所有定理 的一些命题。这里纯粹是syntactic notions. (3) 为何设定 A1 A2 A3这三个命题为axiom, 严格说并不是因为它们是tautology, 而是因为这三条配合此系统的推论规则可以推导出所有的定理。 : 值得一提的是: : 这个系统探讨的逻辑句子应该只有Boolean logic而已, : 跟real number system的axioms不太相同, : (real number system的某些axioms写成Boolean型态并非tautologies, : 因此这些axioms更像是人规定的...XD) : 逻辑句子也不同, : 不过意义是一样的. : (都是作为证明之前的基本事实...也就是规定是对的, 不需要证明) 应该这麽说, 一般设定实数系统包含了PA (Peano Arithmetics), 而PA又包含了述词逻辑系统(predicate logic), 再包含了命题逻辑系统, 因此命题逻辑系统通常是被其它系统「预设」。 不过选哪些命题作为公理, 通常是看你的系统有哪些primitives, 然後选一些足够推导出所有定理的最小集合为公理。 这其实没有什麽原因, 像是自然演译法中, 你可以完全没有公理。 而这里的这三条, 主要是因为这个系统把 material implication 与 negation 当成惟一的两个primitives. 实数系统当然需要多一些公理, 毕竟它有更多的primitives, 像是大小就是最重要的一个要去characterise的东西。 我们不太能说实数系统的公理不是tautologies, 如果你tautology 指的是necessary truth的话, 实数系统里的命题也都是necessary truth. 当然如果你的tautology指的是true in all models, 你当然可以construct 非实数系统的model使其公理为假, 但这似乎不是证明这些不是tautology。 : : 还有就是well-formed formulas, 请问版上有人可以用数学的例子说明吗? : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 这个版上之前有人讨论过, 你可以按z进入查一下 : 大致上来说, well-formed formulas是用recursive方式定义: : 1) Boolean variable (如p)是wff : 2) 若p和q都是wffs, 则 p and q, p or q, not p都是wffs : 上述所说是Boolean logic的wffs. : 因此像 (p and q) => p 是一个wff. : 希望有解决你的问题^^ : 各位板大有错请指正<(_ _)> 如果要了解什麽是 wff, 或许也要举个不是wff 的例子, 下面三个都不是: 1. p xxx q not 2. p q ( not 3. (p and q) and r) --

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