作者somedoubt (人獨立燕雙飛)
看板logic
標題Re: [請益] 邏輯蘊含與實質蘊含
時間Mon Mar 12 00:40:38 2007
前面大致上對，後面這一段就不符合你上面所說。
※ 引述《A1Yoshi (我是妖西)》之銘言：
: 我是用比較常識的方式來說這區別啦。嚴格來說，這兩種是不同類的真值
: 函數，雖然都用同樣的符號（自然語言是if...then...，邏輯符號則一般
: 常用→或馬蹄號）表示之。而所謂真值函數的意思就指那個決定從組成成
: 分句的真值對映到整句話的真值的那個函數。這函數的意思和數學裡的函
: 數意思一樣，只是種mapping的關係。
: 可以表示成這樣：
: T1(X1, X2) = Y, T1: material implication
: T2(X1, X2) = Y, T2: logical implication
: 其中Xi和Y都只有兩個值：真或假。
: 然後，如果一個條件句詮釋成邏輯蘊含且為真，則它詮釋成實質蘊含一定
: 也為真，可是反之不成立。這是我說邏輯蘊含，其蘊含比較強的意思。
邏輯蘊含跟實質蘊含都不是真值函數。
真值給定函數是給定命題真值的函數：定義域為命題集，對應域為真值集。
若將邏輯連接詞視為函數，則該函數的定義域是｛T,F｝×｛T,F}，而對應域
是真值集，例如，
T(p→q)= →(T(p),T(q))
→的對應規則就如同我們所熟悉的：
→(T,T)= T；→(T,F)= F； →(F,T)= T； →(F,F)= F
先前已說過真值給定函數的定義域是命題集，我們要將真值給定函數的定義
域限定在被討論的條件句的前後件所成的語句集，例如｛P,Q｝，而P,Q並非
一定是atomic sentences。
而依據這一個限定的定義域我們可以得到四個真值給定函數：
｛<P,T>,<Q,T>｝; ｛<P,T>,<Q,F>｝; ｛<P,F>,<Q,T>｝; ｛<P,F>,<Q,F>｝
現在，給定任何一個條件句 P→Q，P→Q是一為真的邏輯蘊含句當且僅當不存在一個
真值給定函數（按照古典邏輯的賦值規則）使得P為真而Q為假；P→Q是一為真的實質
蘊含句當且僅當依據某個特定的真值給定函數Tn，Tn(P→Q)=T
實質蘊含與邏輯蘊含是後設的區分，理由在於光靠真值給定函數的定義以
及邏輯連接詞的定義，我們無法給出"某某條件句是實質蘊含句"的真值。
T(P →L Q) = &(T1(P→Q),T2(P→Q),T3(P→Q),...,Tn(P→Q),..)
如果我們將真值函數的定義域限定為｛P,Q｝，那麼上面那個無窮集就會變成有限集。
T(P →M Q) = Tn(P→Q) for the assigned Tn
而我們會說實質蘊含是truth functional的理由正在於實質蘊含條件句的真值
只由某一特定的真值給定函數以及"→"的定義所決定。
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