沒學過邏輯，只是一個路過對數學有興趣的電機人...囧> ※ 引述《windmusic (喔耶)》之銘言： : 95分析能力一 : 關於邏輯方面的問題 : 有些關係是可以傳遞的，以"大於"為例，若甲大於乙，而且乙大於丙，則甲大於丙；有些 : 關係則是反傳遞的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線，而且乙直線垂直於丙直線， : 則甲直線不會垂直於丙直線。有些關係是對稱的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線 : ，則乙直線垂直於甲直線；有些關係是反對稱的，以"大於"為例，若甲大於乙，則乙不會 : 大於甲。有些關係是自反的，以"等於"為例，任何數都與自己相等；有些關係是反自反的 : ，以"垂直"為例，任何直線不會與自己垂直。 前言： (1)以*表示邏輯上的運算，A*B的output是一個布林值 (2)題目我把它翻譯如下： 傳遞： 若 A*B=true 且 B*C=true 則 A*C=true 反傳遞： 若 A*B=true 且 B*C=true 則 A*C=false 對稱： 若 A*B=true 則 B*A=true 反對稱： 若 A*B=true 則 B*A=false 自反： A*A=true for any A 反自反： A*A=false for any A (3)若選了「對稱」則必也要選「不反對稱」； 若選了「反對稱」則必也要選「不對稱」； 若選了「自反」則必也要選「不反自反」； 若選了「反自反」則必也要選「不自反」。 : 現在假設某一關係是傳遞且反自反的，請問此關係有無下面情況: : (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱 A*A恆為false (因為*反自反) 接下來分兩種情況討論 (i)存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異) 假設 B*A=true 那麼 A*A=true (因為*可傳遞) 矛盾 所以 A*B=true implies B*A=false 故*反對稱 (ii)不存在A、B使得A*B=true (AB不必相異)(本情形不會違反題目條件) 那麼*是對稱且反對稱 (因為*滿足這兩者的定義) (i)(ii)聯集可知本題答案是abcd : 又一個傳遞且自反的關係有無下面情況: : (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱 答案先說是acd，理由如下： Proposition：不存在一種關係＠會同時反對稱和自反 證明：假設＠同時反對稱和自反。 因為＠自反，所以 A＠A=true 又因為 A＠A=true 所以 A＠A=false (反對稱，把A和A交換位置) 顯然矛盾。故得證 所以可以把b選項刪除 接下來舉例證明acd都是有可能的 平行關係，傳遞且自反且對稱，所以ad要選 大於等於(或小於等於)關係，傳遞且自反且不對稱，所以c要選 : 一個傳遞且對稱的關係有無下面情況: : (a)自反 (b)反自反 (c)不自反 (d)不反自反 同樣一開始就分兩種情形 (i)存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異) 因為*對稱，所以 B*A=true 因為 A*B=true 且 B*A=true，所以A*A=true (傳遞) 故*自反 (ii)不存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異)(本情形不會違反題目條件) 那麼根據定義*就是反自反 綜合(i)(ii)答案應選abcd : 以上問題想請教版上大大 PS. 我猜想出題者應該沒有想到不存在A、B使得 A*B=true 的情況 PPS. 有人能把全篇看完我佩服你...我自己打完以後都看不懂了 -- A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there. --Charles Darwin --

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