作者MathTurtle (恩典)
看板logic
標題Re: [請益] 有限包含無限的問題
時間Thu Mar 9 08:55:07 2006
※ 引述《UltraSeven (>"<)》之銘言：
: 假設有一盞燈
: 在一開始時開了這盞燈
: 過了1分鐘關了它 又過1/2分又打開它
: 又過1/4分又關了它 又過1/8分又打開.........
: 持續過程二分鐘
: 到了二分鐘後檢查燈
: 燈是關著的???? 還是開著的????
: 難道燈又是開著又是關著????
如果你問的只是單純的數學問題, 那麼藉由定義清楚是可以解答的:
首先, 我們定義一個函數來描述燈的狀態,
f(x) (0<= x < 2) 理解為燈在第x分時的狀態,
並定義其值為1, 若狀態是「開」;
其值為0, 若狀態是「關」。
因此, 當x取值在 [0, 2) 時, 也就是在大於等於0且小於2 的時候,
f(x)的值都是well-defined的, 不會有什麼問題。
但是要注意, f(2)是有問題的點, 因此需要用極限來逼近。
但是當x --> 2 時, f(x)的極限是不存在的, 因此f(2)仍然是undefined.
如果以上的方式無法說服你, 因為和原題描述仍有些不同,
那麼我們可以用一個更複雜但更接近原題的方式來描述:
我們定義以下的一組函數 f_n (x), 用來帶表在第n次按下開關後,
燈從0到無限大之間的狀態。
例如: f_0 (x) = 1 (constant function)
f_1 (x) = 1 when 0<= x < 1
0 when x >= 1
f_2 (x) = 1 when 0<= x < 1
0 when 1<= x < 3/2
1 when 3/2 <= x
:
:
注意到對於每一個n, f_n (x) 都是well-defined的, 這與原題比較符合。
接下來, 問第二分鐘時燈的狀態, 就是問 lim f_n(2) 的值。
我們不妨定義 g(x)= lim f_n (x) n->inf.
n->inf.
也就是當n趨近無限大時, f_n所會變成的函數。
這時就會發現, g(x)只要在 x>=2時, 都無法定義, 因為f_n (x)在那裡的極限不存在。
[note: 這裡的g(x)其實就是第一個描述方式裡面的 f(x) ]
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