作者MathTurtle (恩典)
看板logic
标题Re: [请益] 有限包含无限的问题
时间Thu Mar 9 08:55:07 2006
※ 引述《UltraSeven (>"<)》之铭言：
: 假设有一盏灯
: 在一开始时开了这盏灯
: 过了1分钟关了它 又过1/2分又打开它
: 又过1/4分又关了它 又过1/8分又打开.........
: 持续过程二分钟
: 到了二分钟後检查灯
: 灯是关着的???? 还是开着的????
: 难道灯又是开着又是关着????
如果你问的只是单纯的数学问题, 那麽藉由定义清楚是可以解答的:
首先, 我们定义一个函数来描述灯的状态,
f(x) (0<= x < 2) 理解为灯在第x分时的状态,
并定义其值为1, 若状态是「开」;
其值为0, 若状态是「关」。
因此, 当x取值在 [0, 2) 时, 也就是在大於等於0且小於2 的时候,
f(x)的值都是well-defined的, 不会有什麽问题。
但是要注意, f(2)是有问题的点, 因此需要用极限来逼近。
但是当x --> 2 时, f(x)的极限是不存在的, 因此f(2)仍然是undefined.
如果以上的方式无法说服你, 因为和原题描述仍有些不同,
那麽我们可以用一个更复杂但更接近原题的方式来描述:
我们定义以下的一组函数 f_n (x), 用来带表在第n次按下开关後,
灯从0到无限大之间的状态。
例如: f_0 (x) = 1 (constant function)
f_1 (x) = 1 when 0<= x < 1
0 when x >= 1
f_2 (x) = 1 when 0<= x < 1
0 when 1<= x < 3/2
1 when 3/2 <= x
:
:
注意到对於每一个n, f_n (x) 都是well-defined的, 这与原题比较符合。
接下来, 问第二分钟时灯的状态, 就是问 lim f_n(2) 的值。
我们不妨定义 g(x)= lim f_n (x) n->inf.
n->inf.
也就是当n趋近无限大时, f_n所会变成的函数。
这时就会发现, g(x)只要在 x>=2时, 都无法定义, 因为f_n (x)在那里的极限不存在。
[note: 这里的g(x)其实就是第一个描述方式里面的 f(x) ]
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