先介紹一下，不少老師知道，其實「 幾十五 的平方」有便捷的方法算 ； a十五 就是 10a+5， 10a+5 的平方可以用乘法公式化成 a*(a+1)*100 + 25。 所以說 35 的平方就是 3*4=12 後邊接 25 是 1225 45 的平方是 2025 ；75 的平方是5625 甚至可以延申到 115 的平方是 13225 (11*12=132)； 5 的六次 是 125的平方 = 15625。 其實這個也可以教，在台灣國小資優數學都會教「公式」； 但學生不知其所以然、又不會主動一直使用，很快就會又忘了。 我都在國一開始的時候先講過，到國二學完全平方數、學乘法公式的時候又再講一次。 要老師自己每次看到可以這樣算的時候就使用一次給學生看， 一次次看過才比較會真的用。不然也只是填鴨。 國二上背完全平方數，到後來學乘法公式的時候其實可以重新推導一次。 像 121 、 144 、 169 都是完全平方式的係數，很實用； 連帶 21平方 441 ； 31平方 961； 19平方 是 (20-1)平方 是400 - 40+1 = 361。 15平方是225 上面講了 ，16平方從 二的次方數去記就好， 18平方 是 81*4=324不用進位。 其實20以前只有 17平方 = 289 要「背」而已。 畢氏數也和乘法公式有關 因為 a平方 - b平方 = (a+b)*(a-b) 所以兩個只差 1 的數的平方，差就是兩底數合。 比如說 17 平方 = 16平方+16+17 = 256+33=289 換言之去找連續兩數合是完全平方數的，就能找到 12、13、5 和24、25、7； 其實反過來想更簡單 -- 把完全平方數拆成連續兩數合 像 81 可以拆成 40+41；所以 40、41、9 也是 兩數差二的話，平方差就是 (a+b) * 2 = (a+b)/2 * 4 也就是兩數的中間項*4； 所以 15、17、8 也是直角三角形三邊。 換句話說，去找 「中間項是平方數的」 -- 將平方數當成中間項； 比如說 81 --> 那 82平方 - 80平方 就等於 81*4 = 18的平方 ； 所以 80、82、14也是畢氏數 ( 40、41、9 ) 接著會發現如果找到「平方數 中項」是奇數，那兩端就都是偶數，之後就會約掉； 所以如果要找新的畢氏數，就要找「偶數的平方數」 比如說 36 +> 37平方 - 35平方 = 36*4 = 12平方 這樣我們就找到一個新的畢氏數了：「12、35、37」 那麼，來挑戰一下，挑一個不可約的、超過四千的「畢氏數」 比如說， 32 的平方 = 2的十次方 是 1024 ( 2 的次方數，我都讓學生推到 1024，很實用， 因為 1mb = 1024kb、1kb=1024bite 將來也會用到)； 所以1024 * 4 = 4096 就是 64 的平方 那麼， 4097平方 - 4095平方 = 4096*4 = 128平方 128 都是 2 乘起來的； 另外兩個數是奇數，所以一定沒得約 那 「128、4095、4097」就是一個破四千的新畢氏數了 這個計算其實還可以再延申下去， 比如說 如果 a 和 b 差 8 那 a平方 - b平方 = ( a+b )*8 = 中間項 * 16 這次我們要抓奇數 的完全平方數，(為什麼呢？) 抓大一點好了， 121 的平方，是11 的四次方， 也就是 (x+y)^4 的係數比 ： 1 4 6 4 1 把14641加、減四；找到 14645 平方 - 14637 平方 = 14641 * 16 = 242 平方 那 242、14637、14645 就也一樣是不可約的畢氏數。 最後試試，用 a-b = 2048 ( 2 的11次 ) 和 上面的 14641 當中項 來找15665 平方 - 13617平方 = 14641 * 4096 = 121平方*64平方 = 7744平方 所以 7744、13617、15665 也是不可約的畢氏數 這個是不是挺炫的呢？ 還是說，你本來就知道了？ ps， 本文原發佈在小弟的 FB 網誌，歡迎轉貼 http://www.facebook.com/note.php?note_id=414097805274695 -- oodh 進入守備狀態 接著覆蓋一張蠶絲被 結束這回合 http://www.facebook.com/buzz.huang --

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