先介绍一下，不少老师知道，其实「 几十五 的平方」有便捷的方法算 ； a十五 就是 10a+5， 10a+5 的平方可以用乘法公式化成 a*(a+1)*100 + 25。 所以说 35 的平方就是 3*4=12 後边接 25 是 1225 45 的平方是 2025 ；75 的平方是5625 甚至可以延申到 115 的平方是 13225 (11*12=132)； 5 的六次 是 125的平方 = 15625。 其实这个也可以教，在台湾国小资优数学都会教「公式」； 但学生不知其所以然、又不会主动一直使用，很快就会又忘了。 我都在国一开始的时候先讲过，到国二学完全平方数、学乘法公式的时候又再讲一次。 要老师自己每次看到可以这样算的时候就使用一次给学生看， 一次次看过才比较会真的用。不然也只是填鸭。 国二上背完全平方数，到後来学乘法公式的时候其实可以重新推导一次。 像 121 、 144 、 169 都是完全平方式的系数，很实用； 连带 21平方 441 ； 31平方 961； 19平方 是 (20-1)平方 是400 - 40+1 = 361。 15平方是225 上面讲了 ，16平方从 二的次方数去记就好， 18平方 是 81*4=324不用进位。 其实20以前只有 17平方 = 289 要「背」而已。 毕氏数也和乘法公式有关 因为 a平方 - b平方 = (a+b)*(a-b) 所以两个只差 1 的数的平方，差就是两底数合。 比如说 17 平方 = 16平方+16+17 = 256+33=289 换言之去找连续两数合是完全平方数的，就能找到 12、13、5 和24、25、7； 其实反过来想更简单 -- 把完全平方数拆成连续两数合 像 81 可以拆成 40+41；所以 40、41、9 也是 两数差二的话，平方差就是 (a+b) * 2 = (a+b)/2 * 4 也就是两数的中间项*4； 所以 15、17、8 也是直角三角形三边。 换句话说，去找 「中间项是平方数的」 -- 将平方数当成中间项； 比如说 81 --> 那 82平方 - 80平方 就等於 81*4 = 18的平方 ； 所以 80、82、14也是毕氏数 ( 40、41、9 ) 接着会发现如果找到「平方数 中项」是奇数，那两端就都是偶数，之後就会约掉； 所以如果要找新的毕氏数，就要找「偶数的平方数」 比如说 36 +> 37平方 - 35平方 = 36*4 = 12平方 这样我们就找到一个新的毕氏数了：「12、35、37」 那麽，来挑战一下，挑一个不可约的、超过四千的「毕氏数」 比如说， 32 的平方 = 2的十次方 是 1024 ( 2 的次方数，我都让学生推到 1024，很实用， 因为 1mb = 1024kb、1kb=1024bite 将来也会用到)； 所以1024 * 4 = 4096 就是 64 的平方 那麽， 4097平方 - 4095平方 = 4096*4 = 128平方 128 都是 2 乘起来的； 另外两个数是奇数，所以一定没得约 那 「128、4095、4097」就是一个破四千的新毕氏数了 这个计算其实还可以再延申下去， 比如说 如果 a 和 b 差 8 那 a平方 - b平方 = ( a+b )*8 = 中间项 * 16 这次我们要抓奇数 的完全平方数，(为什麽呢？) 抓大一点好了， 121 的平方，是11 的四次方， 也就是 (x+y)^4 的系数比 ： 1 4 6 4 1 把14641加、减四；找到 14645 平方 - 14637 平方 = 14641 * 16 = 242 平方 那 242、14637、14645 就也一样是不可约的毕氏数。 最後试试，用 a-b = 2048 ( 2 的11次 ) 和 上面的 14641 当中项 来找15665 平方 - 13617平方 = 14641 * 4096 = 121平方*64平方 = 7744平方 所以 7744、13617、15665 也是不可约的毕氏数 这个是不是挺炫的呢？ 还是说，你本来就知道了？ ps， 本文原发布在小弟的 FB 网志，欢迎转贴 http://www.facebook.com/note.php?note_id=414097805274695 -- oodh 进入守备状态 接着覆盖一张蚕丝被 结束这回合 http://www.facebook.com/buzz.huang --

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