今天讀高等微積分 看到這個定理覺得好爽喔 若有界閉集合F被一組無數多個圓所覆蓋時，則F亦被其中某有限多個圓所覆蓋。 這個定理呢 我們要怎麼證明才好呢 首先假設定理不為真 則任取一個正方形Q包含F 再將Q四等分為小正方形時 得知此小正方形中至少對某一個屬於F的部分集合不為真 設此部分閉集為F_1 而包含此集合之小正方形為Q_1 繼續如此操作 可得一組無限序列之閉集合 F, F1, F2, ... 後者包含於前者中 且隨著小正方形而無限的縮小 因此必共有F中之一點P_0 而P_0屬於F表示P_0必包含於所在圓中之某一圓的內部 故當n足夠大時 F_n隨著包含它之小正方形Q_n而使全部均落在此圓內 此結果與F_n有關之假設 即對F_n而言 定理不為真互相矛盾 故定理為真 我們可以注意到 在這個證明中 最重要的是F為閉集合的假設 不然的話 我們無法導出P_0為屬於F的點 而且F的各個點一定要包於圓之內部 因為P_0如果是落在圓周上的話 不管n再怎麼大 Q_n和F_n都未必會全落於圓內 這樣定理的證明就缺乏一股約束力了 這個定理證明的巧思非常厲害 真是令我驚爽 --

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