今天读高等微积分 看到这个定理觉得好爽喔 若有界闭集合F被一组无数多个圆所覆盖时，则F亦被其中某有限多个圆所覆盖。 这个定理呢 我们要怎麽证明才好呢 首先假设定理不为真 则任取一个正方形Q包含F 再将Q四等分为小正方形时 得知此小正方形中至少对某一个属於F的部分集合不为真 设此部分闭集为F_1 而包含此集合之小正方形为Q_1 继续如此操作 可得一组无限序列之闭集合 F, F1, F2, ... 後者包含於前者中 且随着小正方形而无限的缩小 因此必共有F中之一点P_0 而P_0属於F表示P_0必包含於所在圆中之某一圆的内部 故当n足够大时 F_n随着包含它之小正方形Q_n而使全部均落在此圆内 此结果与F_n有关之假设 即对F_n而言 定理不为真互相矛盾 故定理为真 我们可以注意到 在这个证明中 最重要的是F为闭集合的假设 不然的话 我们无法导出P_0为属於F的点 而且F的各个点一定要包於圆之内部 因为P_0如果是落在圆周上的话 不管n再怎麽大 Q_n和F_n都未必会全落於圆内 这样定理的证明就缺乏一股约束力了 这个定理证明的巧思非常厉害 真是令我惊爽 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.249.201 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/happy/M.1507829545.A.443.html